Cómo se usa
- Escriba la Tasa media λ: el número medio de sucesos en el intervalo, por ejemplo 3 llegadas por minuto.
- Escriba el Número de sucesos k cuya probabilidad quiere calcular.
- Lea P(X = k): exactamente k sucesos, P(X ≤ k): como máximo k sucesos y P(X ≥ k): como mínimo k sucesos.
- Revise la Tabla de la distribución y Cómo se calcula.
La fórmula de Poisson
La distribución de Poisson cuenta sucesos que ocurren de forma independiente a una tasa media constante λ en un intervalo fijo de tiempo, longitud o área. La probabilidad de exactamente k sucesos es e^(−λ) λᵏ ÷ k!. Su media y su varianza valen ambas λ, así que un recuento cuya dispersión es mucho mayor o menor que su media no encaja en este modelo.
La probabilidad de que no haya ningún suceso en el intervalo es e^(−λ). Cada suceso adicional multiplica la probabilidad por λ y la divide entre el recuento alcanzado, por eso las probabilidades suben hasta un máximo cerca de λ y después bajan.
P(X = k) = e^(−λ) × λᵏ ÷ k!
P(X ≤ k) = Σ P(X = j) para j desde 0 hasta k
media = varianza = λCuándo encaja la distribución de Poisson
Encaja con recuentos de sucesos raros e independientes, como clientes que llegan en un minuto, llamadas a una centralita en una hora o erratas en una página, cuando la tasa media no cambia durante el intervalo. Es también el límite de la distribución binomial con muchos ensayos y una probabilidad de éxito pequeña, donde λ = np. La calculadora de probabilidad binomial trabaja con un número fijo de ensayos.
Lo que la calculadora no cubre
- Recuentos cuya varianza es distinta de la media, como sucesos agrupados. Esos necesitan la distribución binomial negativa.
- Tasas que cambian durante el intervalo. Divida el intervalo en partes con sus propias tasas y sume los resultados, o use una tasa para cada parte.
- Tasas medias por encima de 1000, que la calculadora no acepta, y recuentos por encima de 1000.
Ejemplo resuelto: 3 llegadas por minuto
Una tienda recibe de media 3 clientes por minuto, así que λ = 3. La probabilidad de exactamente 2 llegadas en un minuto es e^(−3) × 3² ÷ 2! = 0,224042. La probabilidad de como máximo 2 llegadas es 0,423190, y la de como mínimo 2 llegadas, 0,800852.
La media es 3 y la varianza también es 3.
| Sucesos j | P(X = j) | P(X ≤ j) |
|---|---|---|
| 0 | 0,049787 | 0,049787 |
| 1 | 0,149361 | 0,199148 |
| 2 | 0,224042 | 0,423190 |
| 3 | 0,224042 | 0,647232 |
| 4 | 0,168031 | 0,815263 |
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre una distribución de Poisson y una binomial?
La binomial cuenta éxitos en un número fijo de ensayos, cada uno con una probabilidad de éxito. La de Poisson cuenta sucesos en un intervalo continuo a una tasa media, sin un número fijo de ensayos. Con muchos ensayos y una probabilidad pequeña, las dos dan casi la misma respuesta.
¿Por qué la media y la varianza tienen el mismo valor?
Es una propiedad de la distribución de Poisson. Si los recuentos varían mucho más que su media, el modelo de Poisson no es adecuado y hace falta un modelo de binomial negativa.
¿Cómo obtengo la tasa λ para otro intervalo?
Escálela. Si la tasa es 3 por minuto, es 15 por cinco minutos y 180 por hora. Use la misma unidad para el intervalo que pregunta.
¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra ningún suceso?
Es P(X = 0) = e^(−λ). Con λ = 3, es aproximadamente 0,0498, así que alrededor del 5 % de los minutos no tienen ninguna llegada.
¿Qué significa P(X ≥ k)?
Es la probabilidad de k sucesos o más. Equivale a 1 menos la probabilidad de como máximo k − 1 sucesos, por eso los pasos muestran esa forma.
¿La calculadora envía mis datos a algún sitio?
No. El cálculo se hace en su navegador y no se envía nada de lo que escribe a nuestros servidores.
Fuentes
- Wikipedia (en inglés): Distribución de Poisson
- Wikipedia (en inglés): Distribución de Poisson, relación con la binomial y la función gamma incompleta
Cifras y texto revisados por última vez el martes, 10 de noviembre de 2026.