पॉइसन प्रायिकता कैलकुलेटर: P(X = k), अधिकतम और न्यूनतम

इसका इस्तेमाल कैसे करें

औसत दर λ भरें: अंतराल में घटनाओं की औसत संख्या, जैसे प्रति मिनट 3 आगमन।
घटनाओं की संख्या k भरें, यानी वह गिनती जिसकी प्रायिकता आप जानना चाहते हैं।
P(X = k): ठीक k घटनाएँ, P(X ≤ k) और P(X ≥ k) पढ़ें।
बंटन की तालिका और हिसाब कैसे निकला जाँचें।

पॉइसन सूत्र

पॉइसन बंटन उन घटनाओं को गिनता है जो समय, लंबाई या क्षेत्रफल के एक निश्चित अंतराल में स्थिर औसत दर λ पर स्वतंत्र रूप से होती हैं। ठीक k घटनाओं की प्रायिकता e^(−λ) λᵏ ÷ k! है। इसका माध्य और प्रसरण दोनों λ हैं, इसलिए ऐसी गिनती जिसका फैलाव उसके माध्य से बहुत बड़ा या छोटा हो, इस मॉडल में फिट नहीं बैठती।

अंतराल में एक भी घटना न होने की प्रायिकता e^(−λ) है। हर अगली घटना प्रायिकता को λ से गुणा करती है और पहुँची गई गिनती से भाग देती है, इसीलिए प्रायिकताएँ λ के पास एक शिखर तक बढ़ती हैं और फिर गिरती हैं।

P(X = k) = e^(−λ) × λᵏ ÷ k!
P(X ≤ k) = Σ P(X = j), j = 0 से k तक
माध्य = प्रसरण = λ

पॉइसन बंटन कब फिट होता है

यह दुर्लभ, स्वतंत्र घटनाओं की गिनती पर फिट होता है, जैसे एक मिनट में आने वाले ग्राहक, एक घंटे में हेल्पडेस्क की कॉल, या किसी पेज पर टाइपिंग की गलतियाँ, जब अंतराल के दौरान औसत दर नहीं बदलती। यह बहुत सारे प्रयासों और छोटी सफलता प्रायिकता वाले द्विपद बंटन की सीमा भी है, जहाँ λ = np है। द्विपद प्रायिकता कैलकुलेटर प्रयासों की निश्चित संख्या के साथ काम करता है।

यह कैलकुलेटर क्या नहीं देखता

ऐसी गिनतियाँ जिनका प्रसरण माध्य से अलग हो, जैसे गुच्छों में आने वाली घटनाएँ। उनके लिए ऋणात्मक द्विपद बंटन चाहिए।
अंतराल के दौरान बदलने वाली दरें। अंतराल को अपनी दरों वाले भागों में बाँटें और परिणाम जोड़ें।
1,000 से अधिक औसत दरें, जिन्हें कैलकुलेटर स्वीकार नहीं करता, और 1,000 से अधिक गिनतियाँ।

हल किया हुआ उदाहरण: प्रति मिनट 3 आगमन

एक दुकान में प्रति मिनट औसतन 3 ग्राहक आते हैं, इसलिए λ = 3। एक मिनट में ठीक 2 आगमन की प्रायिकता e^(−3) × 3² ÷ 2! = 0.224042 है। अधिकतम 2 आगमन की प्रायिकता 0.423190 है, और कम से कम 2 आगमन की 0.800852।

माध्य 3 है और प्रसरण भी 3।

घटनाएँ j	P(X = j)	P(X ≤ j)
0	0.049787	0.049787
1	0.149361	0.199148
2	0.224042	0.423190
3	0.224042	0.647232
4	0.168031	0.815263

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

पॉइसन और द्विपद बंटन में क्या अंतर है?

द्विपद निश्चित संख्या के प्रयासों में सफलताएँ गिनता है, जिनमें से हर एक की सफलता प्रायिकता होती है। पॉइसन औसत दर पर एक सतत अंतराल में घटनाएँ गिनता है, प्रयासों की कोई निश्चित संख्या के बिना। बहुत सारे प्रयासों और छोटी प्रायिकता के लिए दोनों लगभग एक ही उत्तर देते हैं।

माध्य और प्रसरण का मान एक ही क्यों है?

यह पॉइसन बंटन का गुण है। अगर गिनतियाँ अपने माध्य से कहीं ज्यादा फैलती दिखें, तो पॉइसन मॉडल ठीक नहीं है, और ऋणात्मक द्विपद मॉडल चाहिए।

किसी दूसरे अंतराल के लिए दर λ कैसे निकालूँ?

उसे अनुपात में बदलें। अगर दर प्रति मिनट 3 है, तो पाँच मिनट में 15 और एक घंटे में 180 होगी। जिस अंतराल के बारे में पूछते हैं उसके लिए वही इकाई उपयोग करें।

बिल्कुल कोई घटना न होने की प्रायिकता क्या है?

वह P(X = 0) = e^(−λ) है। λ = 3 के साथ यह लगभग 0.0498 है, यानी लगभग 5% मिनटों में कोई आगमन नहीं होता।

P(X ≥ k) का क्या अर्थ है?

यह k या उससे अधिक घटनाओं की प्रायिकता है। यह 1 में से अधिकतम k − 1 घटनाओं की प्रायिकता घटाने के बराबर है, इसीलिए हिसाब में यही रूप दिखता है।

क्या यह कैलकुलेटर मेरी संख्याएँ कहीं भेजता है?

नहीं। गणना आपके ब्राउज़र में होती है, और आप जो कुछ भरते हैं वह हमारे सर्वर तक नहीं भेजा जाता।

स्रोत

आँकड़े और टेक्स्ट आखिरी बार मंगलवार, 10 नवंबर 2026 को जाँचे गए।

परिणाम

बंटन का चार्ट

हिसाब कैसे निकला