Как пользоваться
- Введите Средняя интенсивность λ: среднее число событий в интервале, например 3 прихода в минуту.
- Введите Число событий k, для которого нужна вероятность.
- Прочитайте P(X = k): ровно k событий, P(X ≤ k): не более k событий и P(X ≥ k): не менее k событий.
- Проверьте Таблица распределения и Как получен результат.
Формула Пуассона
Распределение Пуассона считает события, которые происходят независимо с постоянной средней интенсивностью λ в фиксированном интервале времени, длины или площади. Вероятность ровно k событий равна e^(−λ) λᵏ ÷ k!. Его математическое ожидание и дисперсия оба равны λ, поэтому счётчик, разброс которого заметно больше или меньше среднего, к этой модели не подходит.
Вероятность отсутствия событий в интервале равна e^(−λ). Каждое следующее событие умножает вероятность на λ и делит на достигнутое число, поэтому вероятности растут до максимума около λ, а затем убывают.
P(X = k) = e^(−λ) × λᵏ ÷ k!
P(X ≤ k) = Σ P(X = j) для j от 0 до k
математическое ожидание = дисперсия = λКогда распределение Пуассона подходит
Оно подходит для счётчиков редких независимых событий, например прихода покупателей за минуту, звонков в службу поддержки за час или опечаток на странице, когда средняя интенсивность не меняется в интервале. Оно также является пределом биномиального распределения при большом числе испытаний и малой вероятности успеха, где λ = np. Калькулятор биномиальной вероятности работает с фиксированным числом испытаний.
Что калькулятор не охватывает
- Счётчики, у которых дисперсия отличается от среднего, например при скоплении событий. Для них нужно отрицательное биномиальное распределение.
- Интенсивности, которые меняются внутри интервала. Разбейте интервал на части со своими интенсивностями и сложите результаты или используйте свою интенсивность для каждой части.
- Средние интенсивности выше 1000, которые калькулятор не принимает, и счётчики выше 1000.
Пример: 3 прихода в минуту
Магазин получает в среднем 3 покупателя в минуту, поэтому λ = 3. Вероятность ровно 2 приходов за минуту равна e^(−3) × 3² ÷ 2! = 0,224042. Вероятность не более 2 приходов равна 0,423190, а не менее 2 приходов — 0,800852.
Математическое ожидание равно 3, и дисперсия тоже равна 3.
| Событий j | P(X = j) | P(X ≤ j) |
|---|---|---|
| 0 | 0,049787 | 0,049787 |
| 1 | 0,149361 | 0,199148 |
| 2 | 0,224042 | 0,423190 |
| 3 | 0,224042 | 0,647232 |
| 4 | 0,168031 | 0,815263 |
Частые вопросы
В чём разница между распределениями Пуассона и биномиальным?
Биномиальное распределение считает успехи при фиксированном числе испытаний, у каждого из которых есть вероятность успеха. Пуассон считает события на непрерывном интервале при средней интенсивности, без фиксированного числа испытаний. При многих испытаниях и малой вероятности оба дают почти одинаковый ответ.
Почему математическое ожидание и дисперсия имеют одно и то же значение?
Это свойство распределения Пуассона. Если счётчики заметно сильнее колеблются, чем их среднее, модель Пуассона не подходит и нужна отрицательная биномиальная модель.
Как получить интенсивность λ для другого интервала?
Пересчитайте её. Если интенсивность 3 в минуту, то за пять минут она равна 15, а за час — 180. Используйте одну и ту же единицу для интервала, о котором вы спрашиваете.
Какова вероятность полного отсутствия событий?
Это P(X = 0) = e^(−λ). При λ = 3 она равна примерно 0,0498, то есть примерно в 5 % минут не будет ни одного прихода.
Что означает P(X ≥ k)?
Это вероятность k событий или больше. Она равна единице минус вероятность не более k − 1 событий, поэтому в шагах показан именно этот вид.
Отправляются ли введённые числа куда-нибудь?
Нет. Расчёт выполняется в вашем браузере, и ничего из введённого не передаётся на сервер.
Источники
- Wikipedia (на английском): Poisson distribution
- Wikipedia (на английском): Poisson distribution, relation to the binomial and the incomplete gamma function
Цифры и текст в последний раз проверены вторник, 10 ноября 2026 г..