Калькулятор z-оценки: доля значений и процентиль

Как пользоваться

Выберите Что найти: долю ниже, выше или между двумя значениями либо значение по процентилю.
Введите Среднее μ и Стандартное отклонение σ нормального распределения.
Введите Значение x, Второе значение x₂ для диапазона или Процентиль для значения по процентилю.
Прочитайте Доля значений или Значение по процентилю, затем Как это вычисляется.

Как вычисляется z-оценка

Z-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений значение лежит выше или ниже среднего: z = (x − μ) ÷ σ. Z-оценка 0 — это среднее, а z-оценка 1,5 лежит на полтора стандартного отклонения выше него.

Если значения следуют нормальному распределению, доля значений ниже данного — это Φ(z), где Φ — функция стандартного нормального распределения. Φ(1,96) = 0,9750, поэтому 97,5 % значений лежат ниже значения с z = 1,96.

z = (x − μ) ÷ σ
доля ниже x = Φ(z)
доля между x₁ и x₂ = Φ(z₂) − Φ(z₁)
значение по процентилю p = μ + Φ⁻¹(p) × σ

Процентили и значение по процентилю

Процентиль — это значение, ниже которого лежит заданная доля распределения. Например, у 90-го процентиля ниже лежат 90 % значений. Калькулятор находит его z-значение обратной функцией Φ и переводит его в значение через среднее и стандартное отклонение.

Результаты точны для нормального распределения. Реальные данные редко бывают точно нормальными, особенно в хвостах, поэтому проверьте, что форма данных примерно колоколообразна, прежде чем опираться на процентиль.

Чего калькулятор не охватывает

Асимметричные данные, например доходы или время ожидания. Для них берите собственные процентили данных, а не нормальную кривую.
Неопределённость среднего или стандартного отклонения, оценённых по выборке. Её охватывает калькулятор доверительного интервала.
Проверку того, являются ли данные нормальными, и распределения, отличные от нормального.

Пример: баллы за экзамен со средним 70 и σ = 8

Балл 82 имеет z = (82 − 70) ÷ 8 = 1,5000. Φ(1,5) = 0,933193, поэтому 93,32 % баллов лежат ниже 82.

Балл на 90-м процентиле равен 80,2524: z-значение для 90 % равно 1,28155, и 70 + 1,28155 × 8 = 80,2524.

Частые вопросы

Что такое z-оценка?

Z-оценка — это расстояние значения от среднего, измеренное в стандартных отклонениях. Z-оценка +2 означает, что значение на два стандартных отклонения выше среднего, а отрицательная — что оно лежит ниже среднего.

Какая доля нормального распределения лежит в пределах одного или двух стандартных отклонений от среднего?

Около 68,27 % значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего и около 95,45 % в пределах двух, по Φ(1) − Φ(−1) и Φ(2) − Φ(−2). Эти доли не зависят от среднего и стандартного отклонения.

Почему 90-й процентиль лежит при z = 1,28, а не при 0,9?

Z-оценка — это расстояние в стандартных отклонениях, а не вероятность. 90-й процентиль — это z-значение, при котором ниже лежат 90 % нормального распределения, то есть 1,2816. Число 0,9 — это сама вероятность.

Что использовать: стандартное отклонение совокупности или выборки?

Берите стандартное отклонение того распределения, которое вы описываете. Для выборки обычно используется выборочное стандартное отклонение, и тогда z-оценка описывает выборку так, будто она является всей совокупностью.

Можно ли использовать калькулятор для данных, которые не являются нормальными?

Только как грубый ориентир. Результаты точны для нормального распределения. Для асимметричных данных, например доходов, доля ниже значения может заметно отличаться, и собственные процентили данных надёжнее.

Отправляются ли введённые числа на сервер?

Нет. Расчёт выполняется в вашем браузере, и ничего из введённого не отправляется на наши серверы.

Источники

Цифры и текст в последний раз проверены вторник, 10 ноября 2026 г..

Результат

Как это вычисляется