So verwenden Sie es
- Tragen Sie die Mittlere Rate λ ein: die mittlere Anzahl der Ereignisse im Zeitraum, zum Beispiel 3 Ankünfte pro Minute.
- Tragen Sie die Anzahl der Ereignisse k ein, für die Sie die Wahrscheinlichkeit wollen.
- Lesen Sie P(X = k): genau k Ereignisse, P(X ≤ k): höchstens k Ereignisse und P(X ≥ k): mindestens k Ereignisse ab.
- Prüfen Sie die Tabelle der Verteilung und So wird es berechnet.
Die Poisson-Formel
Die Poisson-Verteilung zählt Ereignisse, die unabhängig voneinander mit einer konstanten mittleren Rate λ in einem festen Zeitraum, auf einer Strecke oder in einer Fläche vorkommen. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Ereignisse ist e^(−λ) λᵏ ÷ k!. Ihr Mittelwert und ihre Varianz sind beide λ. Eine Anzahl, deren Streuung deutlich größer oder kleiner als ihr Mittelwert ist, passt daher nicht zu diesem Modell.
Die Wahrscheinlichkeit für kein Ereignis im Zeitraum ist e^(−λ). Jedes weitere Ereignis multipliziert die Wahrscheinlichkeit mit λ und teilt durch die erreichte Anzahl. Deshalb steigen die Wahrscheinlichkeiten bis zu einem Höchstwert nahe λ und fallen danach.
P(X = k) = e^(−λ) × λᵏ ÷ k!
P(X ≤ k) = Σ P(X = j) für j von 0 bis k
Mittelwert = Varianz = λWann die Poisson-Verteilung passt
Sie passt auf Anzahlen seltener, unabhängiger Ereignisse, etwa Kunden, die in einer Minute ankommen, Anrufe bei einer Hotline in einer Stunde oder Tippfehler auf einer Seite, wenn die mittlere Rate im Zeitraum gleich bleibt. Sie ist auch der Grenzfall der Binomialverteilung mit vielen Versuchen und kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit, bei dem λ = np gilt. Der Binomialverteilungs-Rechner rechnet mit einer festen Anzahl von Versuchen.
Was der Rechner nicht abdeckt
- Anzahlen, deren Varianz vom Mittelwert abweicht, etwa bei gehäuft auftretenden Ereignissen. Dafür braucht man die negative Binomialverteilung.
- Raten, die sich im Zeitraum ändern. Teilen Sie den Zeitraum in Abschnitte mit eigenen Raten auf und rechnen Sie jeden Abschnitt für sich.
- Mittlere Raten über 1000, die der Rechner nicht annimmt, und Anzahlen über 1000.
Rechenbeispiel: 3 Ankünfte pro Minute
In einem Laden kommen im Mittel 3 Kunden pro Minute, also ist λ = 3. Die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Ankünfte in einer Minute ist e^(−3) × 3² ÷ 2! = 0,224042. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Ankünfte beträgt 0,423190, für mindestens 2 Ankünfte 0,800852.
Der Mittelwert ist 3, und die Varianz ist ebenfalls 3.
| Ereignisse j | P(X = j) | P(X ≤ j) |
|---|---|---|
| 0 | 0,049787 | 0,049787 |
| 1 | 0,149361 | 0,199148 |
| 2 | 0,224042 | 0,423190 |
| 3 | 0,224042 | 0,647232 |
| 4 | 0,168031 | 0,815263 |
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Poisson- und Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung zählt Erfolge bei einer festen Anzahl von Versuchen, die jeweils eine Erfolgswahrscheinlichkeit haben. Die Poisson-Verteilung zählt Ereignisse in einem durchgehenden Zeitraum mit einer mittleren Rate, ohne feste Anzahl von Versuchen. Bei vielen Versuchen und kleiner Wahrscheinlichkeit ergeben beide fast dasselbe.
Warum haben Mittelwert und Varianz denselben Wert?
Das ist eine Eigenschaft der Poisson-Verteilung. Schwankt eine Anzahl deutlich stärker als ihr Mittelwert, passt das Poisson-Modell nicht, und ein negatives Binomialmodell ist nötig.
Wie erhalte ich die Rate λ für einen anderen Zeitraum?
Rechnen Sie sie um. Ist die Rate 3 pro Minute, sind es 15 pro fünf Minuten und 180 pro Stunde. Verwenden Sie für den gefragten Zeitraum dieselbe Einheit.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass gar kein Ereignis eintritt?
Sie ist P(X = 0) = e^(−λ). Bei λ = 3 beträgt sie etwa 0,0498, also haben etwa 5 % der Minuten keine Ankunft.
Was bedeutet P(X ≥ k)?
Es ist die Wahrscheinlichkeit für k Ereignisse oder mehr. Sie ergibt sich als 1 minus die Wahrscheinlichkeit für höchstens k − 1 Ereignisse, deshalb zeigen die Schritte diese Form.
Werden meine Zahlen an einen Server geschickt?
Nein. Die Berechnung läuft in Ihrem Browser, und nichts, was Sie eingeben, wird an uns übermittelt.
Quellen
- Wikipedia (englisch): Poisson distribution
- Wikipedia (englisch): Poisson distribution, Zusammenhang mit der Binomialverteilung und der unvollständigen Gammafunktion
Zahlen und Text zuletzt geprüft: Dienstag, 10. November 2026.