使い方
- 平均発生率λを入力します。区間内で起こる回数の平均で、たとえば1分あたり3件の到着なら3です。
- 発生回数kに、確率を求めたい回数を入力します。
- P(X = k)：ちょうどk回起こる確率、P(X ≤ k)、P(X ≥ k)を読み取ります。
- 確率分布の表と計算の過程を確認します。
ポアソンの式
ポアソン分布は、一定の時間、長さ、または面積の区間で、一定の平均発生率λのもとに独立に起こる回数を数えます。ちょうどk回起こる確率はe^(−λ) λᵏ ÷ k! です。平均と分散はどちらもλなので、ばらつきが平均よりずっと大きい、またはずっと小さい回数は、このモデルに合いません。
区間内で1回も起こらない確率はe^(−λ)です。回数が1つ増えるたびに、確率にλを掛けて、到達した回数で割ります。そのため、確率はλの近くでピークに達し、その後に減っていきます。
P(X = k) = e^(−λ) × λᵏ ÷ k!
P(X ≤ k) = jが0からkまでのP(X = j)の和
平均 = 分散 = λポアソン分布が合う場合
区間内で平均の発生率が変わらず、まれで独立な出来事の回数に合います。たとえば、1分間に来る客の数、1時間の問い合わせの件数、ページ上の誤字の数などです。また、試行回数が多く成功確率が小さい二項分布の極限でもあり、そのときλ = npです。試行回数が決まっている場合は、二項確率計算ツールを使ってください。
このツールが扱わない範囲
- 分散が平均と異なる回数。たとえば集中して起こる出来事。それには負の二項分布が必要です。
- 区間の途中で発生率が変わる場合。区間をそれぞれの発生率をもつ部分に分けて、結果を足し合わせてください。
- 1000を超える平均発生率や、1000を超える回数。このツールは受け付けません。
計算例：1分あたり3件の到着
店には1分間に平均3人の客が来るので、λ = 3です。1分間にちょうど2件到着する確率はe^(−3) × 3² ÷ 2! = 0.224042です。2件以下の到着の確率は0.423190、2件以上の到着の確率は0.800852です。
平均は3、分散も3です。
| 回数j | P(X = j) | P(X ≤ j) |
|---|---|---|
| 0 | 0.049787 | 0.049787 |
| 1 | 0.149361 | 0.199148 |
| 2 | 0.224042 | 0.423190 |
| 3 | 0.224042 | 0.647232 |
| 4 | 0.168031 | 0.815263 |
よくある質問
ポアソン分布と二項分布の違いは何ですか？
二項分布は、成功確率をもつ固定した回数の試行の中の成功回数を数えます。ポアソン分布は、連続した区間で、平均の発生率に基づいて起こる回数を数え、試行回数は決まっていません。試行回数が多く確率が小さい場合、両者はほぼ同じ答えになります。
平均と分散が同じ値になるのはなぜですか？
それがポアソン分布の性質です。回数のばらつきが平均よりはるかに大きいと観測される場合、ポアソンモデルは適さず、負の二項モデルが必要です。
別の区間の発生率λはどう求めますか？
比例して換算します。発生率が1分あたり3件なら、5分あたり15件、1時間あたり180件です。尋ねたい区間と同じ単位を使ってください。
まったく起こらない確率はどれくらいですか？
P(X = 0) = e^(−λ)です。λ = 3のときは約0.0498なので、約5%の分では到着がありません。
P(X ≥ k)は何を意味しますか？
k回以上起こる確率です。k − 1回以下の確率を1から引いたものに等しく、計算の過程がその形を示しています。
入力した数値はサーバーに送られますか？
いいえ。計算はブラウザの中で行われ、入力した内容が当サイトに送られることはありません。
出典
- Wikipedia（英語）: Poisson distribution
- Wikipedia（英語）: Poisson distribution, relation to the binomial and the incomplete gamma function
数値と文章の最終確認日：2026年11月10日火曜日。