So verwenden Sie es
- Tragen Sie die Anzahl der Versuche n ein, zum Beispiel 10.
- Tragen Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit p in Prozent ein, zum Beispiel 50 %.
- Tragen Sie die Anzahl der Erfolge k ein, für die Sie die Wahrscheinlichkeit wollen.
- Lesen Sie P(X = k): genau k Erfolge, P(X ≤ k) und P(X ≥ k) ab, danach die Tabelle der Verteilung und den Rechenweg.
Die Formel der Binomialverteilung
Ein Binomialexperiment besteht aus n unabhängigen Versuchen, und jeder Versuch gelingt mit derselben Wahrscheinlichkeit p. Die Anzahl der Erfolge X folgt dann der Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge ist die Anzahl der Möglichkeiten, die k erfolgreichen Versuche auszuwählen, C(n; k), mal der Wahrscheinlichkeit eines solchen Musters, also pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Der Erwartungswert der Anzahl der Erfolge ist np, die Varianz ist np(1 − p). Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Deshalb liegen die meisten Ergebnisse innerhalb von etwa zwei Standardabweichungen um den Erwartungswert.
P(X = k) = C(n; k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, mit C(n; k) = n! ÷ (k! (n − k)!)
Erwartungswert = np
Varianz = np(1 − p)Genau, höchstens und mindestens
P(X ≤ k) addiert die Wahrscheinlichkeiten für 0, 1, …, k Erfolge. P(X ≥ k) addiert die für k, k + 1, …, n Erfolge. Beide Summen überlappen bei k, deshalb ist P(X ≥ k) auch 1 minus P(X ≤ k − 1). Die Tabelle listet jede Anzahl mit ihrer Wahrscheinlichkeit und der kumulierten Wahrscheinlichkeit bis dahin auf.
Annahmen und was der Rechner nicht abdeckt
- Die Versuche müssen unabhängig sein und dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit haben. Wer ohne Zurücklegen aus einer kleinen Gruppe zieht, braucht stattdessen die hypergeometrische Verteilung.
- Versuche mit mehr als zwei Ausgängen brauchen die Multinomialverteilung. Die Anzahl der Versuche ist hier auf 1000 begrenzt.
- Für die Poisson-Verteilung seltener Ereignisse bei vielen Versuchen nutzen Sie den Poisson-Rechner.
Rechenbeispiel: 10 Versuche mit p = 50 % und k = 3
C(10; 3) = 120, also ist P(X = 3) = 120 × 0,5³ × 0,5⁷ = 120 ÷ 1024 = 0,117188. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens 3 Erfolge ist 0,171875, für mindestens 3 Erfolge 0,945313. Der Erwartungswert ist 5 und die Varianz 2,5.
| Erfolge j | P(X = j) | P(X ≤ j) |
|---|---|---|
| 0 | 0,000977 | 0,000977 |
| 1 | 0,009766 | 0,010742 |
| 2 | 0,043945 | 0,054688 |
| 3 | 0,117188 | 0,171875 |
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen P(X = k) und P(X ≤ k)?
P(X = k) ist die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge. P(X ≤ k) addiert die Wahrscheinlichkeiten aller Anzahlen von 0 bis k, deshalb ist der Wert immer mindestens so groß.
Wann kann ich die Binomialverteilung verwenden?
Wenn Sie Erfolge bei einer festen Anzahl von Versuchen zählen, die unabhängig voneinander sind und dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit haben. Beispiele sind Münzwürfe, fehlerhafte Teile in einer Charge oder zufällig richtig geratene Antworten bei einem Multiple-Choice-Test.
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg?
Geben Sie k = 1 ein und lesen Sie P(X ≥ 1) ab. Der Wert ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit für keinen Erfolg, also 1 − (1 − p)ⁿ.
Warum ist die Varianz np(1 − p)?
Jeder Versuch trägt die Varianz p(1 − p) bei, und unabhängige Versuche addieren sich. Bei n Versuchen ergibt sich deshalb n-mal dieser Wert.
Was passiert bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 0 % oder 100 %?
Das Ergebnis steht fest: Bei 0 % ist die Anzahl immer 0, bei 100 % immer n. Der Rechner zeigt für diese Anzahl die Wahrscheinlichkeit 1 und für die übrigen Anzahlen 0.
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Quellen
Zahlen und Text zuletzt geprüft: Dienstag, 10. November 2026.