Como usar
- Digite o Número de ensaios n, por exemplo 10.
- Digite a Probabilidade de sucesso p como percentual, por exemplo 50%.
- Digite o Número de sucessos k cuja probabilidade você quer.
- Leia P(X = k): exatamente k sucessos, P(X ≤ k): no máximo k sucessos e P(X ≥ k): no mínimo k sucessos; depois, a Tabela da distribuição e Como se calcula.
A fórmula binomial
Um experimento binomial tem n ensaios independentes, e cada ensaio tem a mesma probabilidade p de sucesso. O número de sucessos X segue então a distribuição binomial. A probabilidade de exatamente k sucessos é o número de maneiras de escolher quais k ensaios dão sucesso, C(n; k), vezes a probabilidade de um desses padrões, pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
A média do número de sucessos é np, e a variância é np(1 − p). O desvio padrão é a raiz quadrada da variância; por isso, a maior parte dos resultados fica a cerca de dois desvios padrão da média.
P(X = k) = C(n; k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, com C(n; k) = n! ÷ (k! (n − k)!)
média = np
variância = np(1 − p)Exatamente, no máximo e no mínimo
P(X ≤ k) soma as probabilidades de 0, 1, ..., k sucessos, e P(X ≥ k) soma as de k, k + 1, ..., n. As duas somas se sobrepõem em k, então P(X ≥ k) também é igual a 1 menos P(X ≤ k − 1). A tabela lista cada contagem com a sua probabilidade e a probabilidade acumulada até ela.
Premissas e o que a calculadora não cobre
- Os ensaios precisam ser independentes e ter a mesma probabilidade de sucesso. Sorteios sem reposição de um grupo pequeno pedem a distribuição hipergeométrica.
- Ensaios com mais de dois resultados pedem a distribuição multinomial; aqui, o total de ensaios é limitado a 1.000.
- Para a distribuição de Poisson de eventos raros com muitos ensaios, use a calculadora de probabilidade de Poisson.
Exemplo resolvido: 10 ensaios com p = 50% e k = 3
C(10; 3) = 120, logo P(X = 3) = 120 × 0,5³ × 0,5⁷ = 120 ÷ 1024 = 0,117188. A probabilidade de no máximo 3 sucessos é 0,171875, e a de no mínimo 3 sucessos, 0,945313. A média é 5 e a variância, 2,5.
| Sucessos j | P(X = j) | P(X ≤ j) |
|---|---|---|
| 0 | 0,000977 | 0,000977 |
| 1 | 0,009766 | 0,010742 |
| 2 | 0,043945 | 0,054688 |
| 3 | 0,117188 | 0,171875 |
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre P(X = k) e P(X ≤ k)?
P(X = k) é a probabilidade de haver exatamente k sucessos. P(X ≤ k) soma as probabilidades de todas as contagens de 0 até k, por isso nunca é menor que P(X = k).
Quando posso usar a distribuição binomial?
Quando você conta sucessos em um número fixo de ensaios independentes, todos com a mesma probabilidade de sucesso, como lançamentos de moeda, peças defeituosas em um lote ou respostas certas dadas ao acaso.
Como calcular a probabilidade de pelo menos um sucesso?
Se você digitar k = 1, o resultado de P(X ≥ 1) é a probabilidade de pelo menos um sucesso. Ela é igual a 1 menos a probabilidade de nenhum sucesso, ou seja, 1 − (1 − p)ⁿ.
Por que a variância é np(1 − p)?
Cada ensaio contribui com uma variância de p(1 − p), e os ensaios independentes se somam, o que dá n vezes esse valor.
O que acontece quando a probabilidade é 0% ou 100%?
O resultado é certo: com 0% a contagem é sempre 0, e com 100% é sempre n. A calculadora mostra probabilidade 1 para essa contagem e 0 para as outras.
A calculadora envia meus números para algum lugar?
Não. O cálculo roda no seu navegador, e nada do que você digita é enviado para nós.
Fontes
Números e texto verificados pela última vez em terça-feira, 10 de novembro de 2026.