Mode d'emploi
- Choisissez l'Estimation : une moyenne avec σ connu (z) ou avec l'écart type de l'échantillon (t), ou une proportion selon la méthode de Wald ou de Wilson.
- Saisissez le Niveau de confiance, par exemple 95 %.
- Pour une moyenne, saisissez la Moyenne de l'échantillon x̄, la Taille de l'échantillon n et soit l'Écart type de la population σ, soit l'Écart type de l'échantillon s. Pour une proportion, saisissez les Succès x et les Épreuves n.
- Lisez l'Intervalle de confiance, puis le Détail du calcul. Le tableau compare d'autres niveaux, ou les deux méthodes de proportion.
Intervalles pour une moyenne
Un intervalle de confiance pour une moyenne est la moyenne de l'échantillon, plus ou moins une valeur critique multipliée par l'erreur type. Lorsque l'écart type σ de la population est connu, l'erreur type vaut σ ÷ √n et la valeur critique est z, le point de la loi normale centrée réduite qui laisse (1 + C) ÷ 2 en dessous. Lorsque seul l'écart type s de l'échantillon est connu, l'erreur type vaut s ÷ √n et la valeur critique est t à n − 1 degrés de liberté. La loi de t a des queues plus épaisses : son intervalle est donc un peu plus large, ce qui compte surtout pour les petits échantillons.
Utilisez l'intervalle t dès que σ n'est pas connu. À partir d'une trentaine d'observations, les valeurs de t et de z sont proches, et les deux intervalles coïncident presque.
intervalle z : x̄ ± z × σ ÷ √n
intervalle t : x̄ ± t × s ÷ √n, avec n − 1 degrés de liberté
z = Φ⁻¹((1 + C) ÷ 2)Intervalles pour une proportion
L'intervalle de Wald vaut p̂ ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n), où p̂ = x ÷ n. Il est simple, mais il fonctionne mal pour les petits échantillons et pour les proportions proches de 0 % ou de 100 % : ses bornes peuvent passer sous 0 % ou au-dessus de 100 %, et lorsque toutes les épreuves réussissent, ou aucune, sa largeur est nulle.
L'intervalle à score de Wilson, publié par Edwin B. Wilson en 1927, centre l'estimation sur une valeur pondérée et reste toujours entre 0 % et 100 %. Brown, Cai et DasGupta (2001) comparent les deux méthodes et recommandent l'intervalle de Wilson plutôt que celui de Wald pour la plupart des tailles d'échantillon.
Wald : p̂ ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n)
Wilson : [p̂ + z² ÷ (2n) ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n + z² ÷ (4n²))] ÷ (1 + z² ÷ n)Ce que le calculateur ne couvre pas
- Les échantillons non tirés au hasard, et les enquêtes complexes avec pondérations, grappes ou effet de plan.
- La correction de population finie, pour un échantillon qui représente une part importante de sa population.
- Les comparaisons de deux moyennes ou de deux proportions, qui demandent un autre intervalle. Pour fixer le nombre d'observations, utilisez le calculateur de taille d'échantillon.
Exemples détaillés : une moyenne et une proportion à 95 %
Un échantillon de 25 observations, de moyenne 50 et d'écart type 10, donne t = 2,063899 et SE = 10 ÷ √25 = 2,0000 ; la marge vaut donc 4,1278 et l'intervalle va de 45,8722 à 54,1278.
Pour 56 succès sur 100 épreuves, l'intervalle de Wald va de 46,27 % à 65,73 % et l'intervalle de Wilson de 46,23 % à 65,33 %.
| Méthode | Borne inférieure | Borne supérieure |
|---|---|---|
| Wald | 46,27 % | 65,73 % |
| Wilson | 46,23 % | 65,33 % |
Questions fréquentes
Que signifie un intervalle de confiance à 95 % ?
C'est un intervalle construit par une méthode qui contient la vraie valeur dans environ 95 cas sur 100, pour des échantillons tirés de la même façon. Il ne signifie pas qu'un intervalle donné a 95 % de chances de contenir la vraie valeur.
Quand utiliser l'intervalle z, et quand l'intervalle t ?
N'utilisez z que lorsque l'écart type σ de la population est connu, ce qui est rare. En pratique, on utilise l'écart type de l'échantillon, et l'intervalle t convient à tout échantillon d'au moins 2 observations.
Pourquoi l'intervalle de Wilson est-il meilleur que celui de Wald ?
L'intervalle de Wald estime sa propre dispersion à partir de la proportion de l'échantillon, ce qui échoue pour les petits échantillons et pour les proportions proches de 0 ou de 1. L'intervalle de Wilson reste entre 0 % et 100 %, et son taux de couverture réel est bien plus proche du niveau annoncé.
Quel niveau de confiance choisir ?
95 % est le choix le plus courant. Un niveau plus élevé, comme 99 %, donne un intervalle plus large, et un niveau plus bas, comme 90 %, un intervalle plus étroit. Le niveau traduit le degré de certitude que vous voulez, et non une propriété des données.
Combien d'observations faut-il pour une marge d'erreur donnée ?
Utilisez le calculateur de taille d'échantillon. Pour une proportion, la taille requise dépend de la marge d'erreur, du niveau de confiance et de la proportion attendue.
Le calculateur envoie-t-il mes nombres quelque part ?
Non. Le calcul se fait dans votre navigateur, et rien de ce que vous saisissez n'est envoyé à nos serveurs.
Sources
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (en anglais), 1.3.5.2 : intervalles de confiance pour la moyenne
- Wikipédia (en anglais) : Binomial proportion confidence interval (intervalles de Wald et de Wilson)
- Brown, Cai et DasGupta (2001), Interval Estimation for a Binomial Proportion (en anglais), Statistical Science 16(2)
- Wilson (1927), Probable Inference, the Law of Succession, and Statistical Inference (en anglais), Journal of the American Statistical Association 22(158)
Chiffres et texte vérifiés pour la dernière fois le mardi 10 novembre 2026.