Konfidenzintervall berechnen: Mittelwert und Anteil

So verwenden Sie es

Wählen Sie unter Schätzung einen Mittelwert mit bekannter Standardabweichung (z) oder mit der Stichproben-Standardabweichung (t) oder einen Anteil nach Wald oder Wilson.
Tragen Sie das Konfidenzniveau ein, zum Beispiel 95 %.
Bei einem Mittelwert tragen Sie das Stichprobenmittel x̄, den Stichprobenumfang n und entweder die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ oder die Stichproben-Standardabweichung s ein. Bei einem Anteil tragen Sie die Erfolge x und die Versuche n ein.
Lesen Sie das Konfidenzintervall ab und danach den Rechenweg. Die Tabelle vergleicht andere Niveaus oder beide Methoden für den Anteil.

Intervalle für einen Mittelwert

Ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert ist das Stichprobenmittel plus oder minus ein kritischer Wert mal dem Standardfehler. Ist die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit bekannt, ist der Standardfehler σ ÷ √n, und der kritische Wert ist z, der Punkt der Standardnormalverteilung, unter dem (1 + C) ÷ 2 liegt. Ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, ist der Standardfehler s ÷ √n und der kritische Wert t mit n − 1 Freiheitsgraden. Die t-Verteilung hat dickere Ränder, deshalb ist ihr Intervall etwas breiter. Das fällt vor allem bei kleinen Stichproben ins Gewicht.

Nehmen Sie das t-Intervall, wenn σ nicht bekannt ist. Ab etwa 30 Beobachtungen liegen t- und z-Werte nah beieinander, und beide Intervalle stimmen fast überein.

z-Intervall: x̄ ± z × σ ÷ √n
t-Intervall: x̄ ± t × s ÷ √n, mit n − 1 Freiheitsgraden
z = Φ⁻¹((1 + C) ÷ 2)

Intervalle für einen Anteil

Das Intervall nach Wald ist p̂ ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n), wobei p̂ = x ÷ n ist. Es ist einfach zu rechnen, arbeitet aber bei kleinen Stichproben und bei Anteilen nahe 0 % oder 100 % schlecht. Seine Grenzen können unter 0 % oder über 100 % liegen, und wenn alle oder keiner der Versuche gelingt, hat es die Breite null.

Das Wilson-Score-Intervall, 1927 von Edwin B. Wilson veröffentlicht, zentriert die Schätzung auf einen gewichteten Wert und bleibt immer zwischen 0 % und 100 %. Brown, Cai und DasGupta (2001) haben beide Verfahren verglichen und empfehlen für die meisten Stichprobengrößen das Wilson-Intervall.

Wald: p̂ ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n)
Wilson: [p̂ + z² ÷ (2n) ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n + z² ÷ (4n²))] ÷ (1 + z² ÷ n)

Was der Rechner nicht abdeckt

Stichproben, die nicht zufällig gezogen wurden, sowie komplexe Erhebungen mit Gewichtung, Klumpen oder einem Design-Effekt.
Eine Endlichkeitskorrektur für eine Stichprobe, die einen großen Anteil ihrer Grundgesamtheit ausmacht.
Vergleiche zweier Mittelwerte oder zweier Anteile, die ein anderes Intervall brauchen. Um die Anzahl der Beobachtungen zu planen, nutzen Sie den Stichprobenumfang-Rechner.

Rechenbeispiele: Mittelwert und Anteil bei 95 %

Eine Stichprobe mit n = 25, Mittelwert 50 und Standardabweichung 10 ergibt t = 2,063899 und SE = 10 ÷ √25 = 2,0000. Die Fehlerspanne ist 4,1278, das Intervall reicht also von 45,8722 bis 54,1278.

Bei 56 Erfolgen in 100 Versuchen reicht das Wald-Intervall von 46,27 % bis 65,73 %, das Wilson-Intervall von 46,23 % bis 65,33 %.

Methode	Untergrenze	Obergrenze
Wald	46,27 %	65,73 %
Wilson	46,23 %	65,33 %

Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet ein 95-%-Konfidenzintervall?

Es ist ein Bereich, der nach einem Verfahren gebildet wird, das bei etwa 95 von 100 gleich gezogenen Stichproben den wahren Wert enthält. Es heißt nicht, dass ein bestimmtes Intervall mit 95 % Wahrscheinlichkeit den wahren Wert enthält.

Wann nehme ich das z-Intervall und wann das t-Intervall?

Das z-Intervall nur, wenn die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit bekannt ist, was selten vorkommt. In der Praxis wird die Stichproben-Standardabweichung s verwendet. Dann ist das t-Intervall die richtige Wahl für jede Stichprobe mit mindestens 2 Beobachtungen.

Warum ist das Wilson-Intervall besser als das Wald-Intervall?

Das Wald-Intervall schätzt seine Streuung aus dem Stichprobenanteil selbst. Das versagt bei kleinen Stichproben und bei Anteilen nahe 0 oder 1. Das Wilson-Intervall bleibt zwischen 0 % und 100 %, und seine tatsächliche Trefferquote liegt deutlich näher am angegebenen Niveau.

Welches Konfidenzniveau sollte ich wählen?

95 % ist die übliche Wahl. Ein höheres Niveau wie 99 % ergibt ein breiteres Intervall, ein niedrigeres wie 90 % ein schmaleres. Das Niveau ist eine Entscheidung darüber, wie sicher Sie sein wollen, und keine Eigenschaft der Daten.

Wie viele Beobachtungen brauche ich für eine bestimmte Fehlerspanne?

Dafür nutzen Sie den Stichprobenumfang-Rechner. Beim Anteil hängt die nötige Stichprobe von der gewünschten Fehlerspanne, dem Konfidenzniveau und dem erwarteten Anteil ab.

Werden meine Zahlen an einen Server geschickt?

Nein. Die Berechnung läuft in Ihrem Browser, und nichts, was Sie eingeben, wird an unsere Server übermittelt.

Quellen

Zahlen und Text zuletzt geprüft: Dienstag, 10. November 2026.

Ergebnis

Rechenweg