इसका इस्तेमाल कैसे करें
- श्रेढ़ी का प्रकार चुनें: समांतर या गुणोत्तर।
- क्या ढूँढना है चुनें। फिर पहला पद a₁ और सार्व अंतर d (समांतर) या सार्व अनुपात r (गुणोत्तर) लिखें, या दो ज्ञात पद दें।
- जहाँ बॉक्स माँगे, वहाँ पद संख्या या पदों की संख्या, n लिखें।
- उत्तर और पहले दस पद की तालिका पढ़ें, और हर चरण के लिए हिसाब कैसे निकाला गया देखें।
समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ी
समांतर श्रेढ़ी में हर पद में एक ही अंतर d जुड़ता है, इसलिए aₙ = a₁ + (n − 1)d। गुणोत्तर श्रेढ़ी में हर बार एक ही अनुपात r से गुणा होता है, इसलिए aₙ = a₁ rⁿ⁻¹। पहले n पदों का योग समांतर श्रेढ़ी के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 है, और गुणोत्तर के लिए Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)।
समांतर: aₙ = a₁ + (n − 1)d और Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2
गुणोत्तर: aₙ = a₁ rⁿ⁻¹ और Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)- दो लगातार पदों से अंतर d = a₂ − a₁ मिलता है, या, जब a₁ 0 न हो, अनुपात r = a₂ ÷ a₁।
- जिस गुणोत्तर श्रेढ़ी का पहला पद 0 है, वह हर जगह 0 है, इसलिए उसका अनुपात उसके पदों से नहीं पढ़ा जा सकता।
- ऋणात्मक अनुपात से पद बारी-बारी से धन और ऋण चिह्न के होते हैं, और वही सूत्र लागू होते हैं।
अनंत योग और जो यह कैलकुलेटर नहीं करता
गुणोत्तर श्रेणी का सीमित योग केवल तब होता है जब |r| < 1। तब पद छोटे होते जाते हैं और योग S∞ = a₁ ÷ (1 − r) होता है। जब |r| 1 या उससे अधिक हो, तो आंशिक योग स्थिर नहीं होते, और पेज यह बताता है।
- समांतर श्रेणी का कभी सीमित अनंत योग नहीं होता, इसलिए इस स्थिति को सीमित योग न होने के रूप में दर्ज किया जाता है।
- 10000 से ऊपर की पद संख्याएँ स्वीकार नहीं होतीं, ताकि हिसाब छोटा रहे।
- दो पदों से मिला अनुपात यदि सटीक मूल न हो, तो उसे दशमलव अनुमान के रूप में दिया जाता है।
उदाहरण: 2, 5, 8, … और दसवाँ पद
पहला पद a₁ = 2 और अंतर d = 3 है, इसलिए a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 29। पहले दस पदों का योग S₁₀ = 10 × (2 + 29) ÷ 2 = 155 है।
गुणोत्तर श्रेढ़ी 2, 6, 18, … में a₁₀ = 2 × 3⁹ = 39,366 और S₁₀ = 59,048 है। श्रेणी 2 + 1 + 1/2 + … का अनुपात r = 1/2 है, इसलिए उसका अनंत योग S∞ = 2 ÷ (1 − 1/2) = 4 है।
| सवाल | उत्तर |
|---|---|
| 10वाँ पद, समांतर (2, 5, 8, …) | 29 |
| 10 पदों का योग, समांतर | 155 |
| 10वाँ पद, गुणोत्तर (2, 6, 18, …) | 39,366 |
| 10 पदों का योग, गुणोत्तर | 59,048 |
| 2 + 1 + 1/2 + … का अनंत योग | 4 |
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर कैसे निकालें?
अगले पद में से उसका पिछला पद घटाएँ: d = a₂ − a₁। ज्ञात स्थितियों वाले दो पदों से “दो ज्ञात पदों से d या r” चुनकर हिसाब करें: d = (t₂ − t₁) ÷ (k₂ − k₁)।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग कब होता है?
केवल तब जब अनुपात का निरपेक्ष मान 1 से कम हो। तब पद छोटे होते जाते हैं और योग S∞ = a₁ ÷ (1 − r) होता है। a₁ = 2 और r = 0.5 हो, तो योग 4 है।
पेज 2 × 3⁹ क्यों दिखाता है, केवल दशमलव क्यों नहीं?
सूत्र उसकी संख्याओं के साथ दिखाया जाता है, ताकि आप उसे आगे बढ़ते हुए देख सकें। सटीक उत्तर जब छोटा हो तो पूरा लिखा जाता है, और बहुत लंबा उत्तर वैज्ञानिक रूप में अंकों की गिनती के साथ आता है।
क्या सार्व अनुपात ऋणात्मक हो सकता है?
हाँ। −2 जैसा अनुपात पदों के चिह्न बारी-बारी से बदलता है, और योग उसी सूत्र से निकलता है। दो ज्ञात पदों के बीच चरणों की सम संख्या उसी आकार के ऋणात्मक अनुपात पर भी बैठती है।
क्या हिसाब किसी सर्वर पर होता है?
नहीं। श्रेढ़ी की गणना आपके ब्राउज़र में होती है, और आपका लिखा कुछ भी हम तक नहीं भेजा जाता।
स्रोत
आँकड़े और टेक्स्ट आखिरी बार मंगलवार, 10 नवंबर 2026 को जाँचे गए।