طريقة الاستخدام
- اختر نوع المتتالية: حسابية أو هندسية.
- اختر ما تريد إيجاده، ثم اكتب الحد الأول a₁ والفرق المشترك d (حسابية) أو النسبة المشتركة r (هندسية)، أو أعطِ حدين معلومين.
- اكتب رقم الحد أو عدد الحدود، n في الخانة التي تطلبه.
- اقرأ الجواب وجدول أول عشرة حدود، وافتح طريقة الحساب لترى كل خطوة.
المتتاليات الحسابية والهندسية
المتتالية الحسابية تضيف الفرق نفسه d إلى كل حد، لذلك aₙ = a₁ + (n − 1)d. والمتتالية الهندسية تضرب في النسبة نفسها r في كل مرة، لذلك aₙ = a₁ rⁿ⁻¹. ومجموع أول n حداً هو Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 في المتتالية الحسابية، وSₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) في الهندسية.
حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d و Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2
هندسية: aₙ = a₁ rⁿ⁻¹ و Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)- حدان متتاليان يعطيان الفرق d = a₂ − a₁، أو النسبة r = a₂ ÷ a₁ عندما لا يكون a₁ مساوياً 0.
- المتتالية الهندسية التي حدها الأول 0 تساوي 0 في كل مكان، لذلك لا يمكن قراءة نسبتها من حدودها.
- النسبة السالبة تجعل الحدود تتناوب في الإشارة، وتنطبق الصيغ نفسها.
المجاميع اللانهائية وما لا تشمله الأداة
المتسلسلة الهندسية لها مجموع محدود فقط عندما تكون |r| < 1. عندئذ تتناقص الحدود ويكون المجموع S∞ = a₁ ÷ (1 − r). وعندما تكون |r| مساوية 1 أو أكبر، لا تستقر المجاميع الجزئية، وتقول الصفحة ذلك.
- المتسلسلة الحسابية لا يكون لها مجموع لانهائي محدود أبداً، لذلك تُعرض هذه الحالة على أنها بلا مجموع محدود.
- أرقام الحدود الأكبر من 10000 مرفوضة، حتى يبقى الحساب قصيراً.
- النسبة التي تُوجد من حدين، إن لم تكن جذراً دقيقاً، تُعطى في صورة تقريب عشري.
مثال محلول: 2، 5، 8، … والحد العاشر
الحد الأول a₁ = 2 والفرق d = 3، لذلك a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 29. ومجموع أول عشرة حدود هو S₁₀ = 10 × (2 + 29) ÷ 2 = 155.
المتتالية الهندسية 2، 6، 18، … لها a₁₀ = 2 × 3⁹ = 39,366 و S₁₀ = 59,048. والمتسلسلة 2 + 1 + 1/2 + … نسبتها r = 1/2، لذلك مجموعها اللانهائي S∞ = 2 ÷ (1 − 1/2) = 4.
| السؤال | الجواب |
|---|---|
| الحد العاشر، حسابية (2، 5، 8، …) | 29 |
| مجموع 10 حدود، حسابية | 155 |
| الحد العاشر، هندسية (2، 6، 18، …) | 39,366 |
| مجموع 10 حدود، هندسية | 59,048 |
| المجموع اللانهائي لـ 2 + 1 + 1/2 + … | 4 |
الأسئلة الشائعة
كيف أجد الفرق المشترك في المتتالية الحسابية؟
اطرح الحد من الحد الذي يليه: d = a₂ − a₁. ومن حدين موقعاهما معلومان، استخدم الخيار d أو r من حدين معلومين: d = (t₂ − t₁) ÷ (k₂ − k₁).
متى يكون للمتسلسلة الهندسية اللانهائية مجموع؟
فقط عندما تكون القيمة المطلقة للنسبة أقل من 1. عندئذ تصبح الحدود أصغر فأصغر ويكون المجموع S∞ = a₁ ÷ (1 − r). وعندما يكون a₁ = 2 و r = 0.5 يكون المجموع 4.
لماذا تعرض الصفحة 2 × 3⁹ ولا تكتفي بالعدد العشري؟
تُعرض الصيغة مع أرقامها حتى تتمكن من متابعتها. ويُكتب الجواب الدقيق كاملاً متى كان قصيراً، ويظهر الجواب الطويل جداً بالصيغة العلمية مع عدد أرقامه.
هل يمكن أن تكون النسبة المشتركة سالبة؟
نعم. النسبة مثل −2 تجعل الحدود تتناوب في الإشارة، ويتبع المجموع الصيغة نفسها. وعدد زوجي من الخطوات بين حدين معلومين يناسب أيضاً نسبة سالبة بالمقدار نفسه.
هل يجري الحساب على خادم؟
لا. تُحسب المتتالية في متصفحك، ولا يُرسل ما تُدخله إلينا.
المصادر
- ويكيبيديا (باللغة الإنجليزية): Arithmetic progression
- ويكيبيديا (باللغة الإنجليزية): Geometric series
آخر مراجعة للأرقام والنص: الثلاثاء، 30 جمادى الأولى 1448 بعد الهجرة.