Como usar
- Digite um número inteiro de 1 a 10¹⁵ em Número inteiro. Espaços dentro do número são permitidos.
- Leia a Fatoração prima e a tabela de fatores primos com os seus expoentes.
- Verifique a Quantidade de divisores, a Soma dos divisores e É primo?.
- Siga Como se calcula para ver a árvore de fatores, uma divisão de cada vez.
Como os fatores são encontrados
A divisão de tentativa divide o número por 2, 3 e 5, depois pelos números primos com 30 (7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 e assim por diante), sempre que a divisão é exata. Ela para em 10.000 ou quando o quadrado do próximo candidato é maior que o que sobrou.
O que sobra é 1, um primo ou um composto com dois fatores primos acima de 10.000. Um primo é reconhecido pelo teste de Miller-Rabin, e um composto é decomposto pelo método rho de Pollard, que encontra um divisor por uma busca de ciclo.
Divisores e a sua soma
Se n = p₁^e₁ × p₂^e₂ × … então n tem (e₁ + 1) × (e₂ + 1) × … divisores. A soma dos divisores é o produto das somas 1 + p + … + p^e de cada potência de primo.
Um primo tem dois divisores, 1 e ele mesmo, então a sua soma dos divisores é uma unidade a mais que o primo. O número 1 tem um só divisor e não é primo.
n = p₁^e₁ × … × p_k^e_k
quantidade de divisores = (e₁ + 1) × … × (e_k + 1)
soma dos divisores = (1 + p₁ + … + p₁^e₁) × … × (1 + p_k + … + p_k^e_k)O que a calculadora não cobre
- Números acima de 10¹⁵, e números negativos, decimais ou frações.
- Fatoração de muitos números de uma vez: use a calculadora de MDC e MMC para uma lista de números.
- Uma prova de primalidade para números acima de 3,3 × 10²⁴: o teste aqui é exato abaixo desse limite.
Exemplo resolvido: 600.851.475.143
A divisão de tentativa retira 71, 839, 1471 e 6857, cada um uma vez, então 600851475143 = 71 × 839 × 1471 × 6857. Todos os expoentes são 1, então há 2 × 2 × 2 × 2 = 16 divisores.
A soma dos divisores é (1 + 71) × (1 + 839) × (1 + 1471) × (1 + 6857) = 72 × 840 × 1472 × 6858 = 610.544.148.480. O número é composto, então não é primo.
| Resultado | |
|---|---|
| Fatoração prima | 71 × 839 × 1471 × 6857 |
| Quantidade de divisores | 16 |
| Soma dos divisores | 610.544.148.480 |
| É primo? | Não |
Perguntas frequentes
O que é uma fatoração prima?
É a forma de escrever um número inteiro como produto de números primos. Por exemplo, 84 = 2 × 2 × 3 × 7, que se escreve como 2² × 3 × 7, com o expoente 2 no 2.
Por que a divisão de tentativa para em 10.000?
A divisão de tentativa é lenta para primos grandes, então, depois das divisões até 10.000, o resto é testado com Miller-Rabin e decomposto pelo método rho de Pollard. Abaixo de 10¹⁵, o que sobra tem no máximo três fatores primos, e os dois métodos os encontram depressa.
O número 1 é primo?
Não. Um primo tem exatamente dois divisores, e o 1 tem só um. Assim, o número 1 não é primo nem composto, e não tem fatores primos.
Quão preciso é o teste de primalidade?
Para todo número abaixo de 3,3 × 10²⁴ o teste é exato, porque as bases de 2 a 41 são conhecidas por decidir a primalidade nessa faixa. A ferramenta aqui só aceita números até 10¹⁵.
O que a quantidade de divisores me diz?
Ela conta todos os números inteiros que dividem o número exatamente, incluindo 1 e o próprio número. Ela sai dos expoentes: some 1 a cada expoente e multiplique os resultados.
Os números que eu digito são enviados a algum servidor?
Não. A fatoração roda no seu navegador, e nada do que você digita é enviado para nós.
Fontes
- Wikipédia (em inglês): Integer factorization, with trial division and Pollard's rho
- Wikipédia (em inglês): Pollard's rho algorithm
- Wikipédia (em inglês): Miller-Rabin primality test
- Wikipédia (em inglês): Divisor function, the number and sum of divisors
Números e texto verificados pela última vez em terça-feira, 10 de novembro de 2026.