حاسبة العوامل الأولية مع شجرة العوامل وعدد القواسم

طريقة الاستخدام

اكتب عدداً صحيحاً من 1 إلى 10¹⁵ في عدد صحيح. والمسافات داخل العدد مسموحة.
اقرأ التحليل إلى عوامل أولية وجدول العوامل الأولية مع أسسها.
راجع عدد القواسم ومجموع القواسم وهل هو عدد أولي؟.
اتبع طريقة الحساب لترى شجرة العوامل، تقسيماً بعد تقسيم.

كيف تُوجد العوامل

القسمة التجريبية تقسم العدد على 2 و3 و5، ثم على الأعداد الأولية مع 30 (7 و11 و13 و17 و19 و23 و29 وهكذا)، في كل مرة تكون القسمة تامة. وتتوقف عند 10,000 أو عندما يتجاوز مربع المرشح التالي ما تبقى.

ما يتبقى إما 1 أو عدد أولي أو عدد مركب له عاملان أوليان أكبر من 10,000. ويُعرف العدد الأولي باختبار ميلر–رابين، ويُحلَّل المركب بطريقة رو لبولارد (Pollard's rho)، التي تجد قاسماً بالبحث عن دورة.

القواسم ومجموعها

إذا كان n = p₁^e₁ × p₂^e₂ × … فإن n له (e₁ + 1) × (e₂ + 1) × … قاسماً. ومجموع القواسم هو حاصل ضرب المجاميع 1 + p + … + p^e لكل قوة أولية.

للعدد الأولي قاسمان، 1 والعدد نفسه، لذلك مجموع قواسمه يزيد على العدد بواحد. والعدد 1 له قاسم واحد وليس أولياً.

n = p₁^e₁ × … × p_k^e_k
عدد القواسم = (e₁ + 1) × … × (e_k + 1)
مجموع القواسم = (1 + p₁ + … + p₁^e₁) × … × (1 + p_k + … + p_k^e_k)

ما لا تغطيه الحاسبة

الأعداد فوق 10¹⁵، والأعداد السالبة والعشرية والكسور.
تحليل أعداد كثيرة دفعة واحدة: استخدم حاسبة القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لقائمة من الأعداد.
برهان الأولية للأعداد فوق 3.3 × 10²⁴، فالاختبار هنا دقيق دون هذا الحد.

مثال محلول: 600851475143

تُزيل القسمة التجريبية 71 و839 و1471 و6857، كل منها مرة واحدة، لذلك 600851475143 = 71 × 839 × 1471 × 6857. كل الأسس 1، فيكون عدد القواسم 2 × 2 × 2 × 2 = 16.

مجموع القواسم هو (1 + 71) × (1 + 839) × (1 + 1471) × (1 + 6857) = 72 × 840 × 1472 × 6858 = 610,544,148,480. والعدد مركب، فليس أولياً.

	النتيجة
التحليل إلى عوامل أولية	71 × 839 × 1471 × 6857
عدد القواسم	16
مجموع القواسم	610,544,148,480
هل هو عدد أولي؟	لا

الأسئلة الشائعة

ما هو التحليل إلى العوامل الأولية؟

هو كتابة العدد الصحيح حاصل ضرب أعداد أولية. فمثلاً 84 = 2 × 2 × 3 × 7، ويُكتب 2² × 3 × 7 مع الأس 2 على العدد 2.

لماذا تتوقف القسمة التجريبية عند 10,000؟

القسمة التجريبية بطيئة للأعداد الأولية الكبيرة، لذلك بعد القسمات حتى 10,000 يُختبر الباقي بطريقة ميلر–رابين ويُحلَّل بطريقة رو لبولارد. وما يبقى دون 10¹⁵ له ثلاثة عوامل أولية على الأكثر، وكلتا الطريقتين تجدهما بسرعة.

هل العدد 1 عدد أولي؟

لا. للعدد الأولي قاسمان بالضبط، والعدد 1 له قاسم واحد فقط. لذلك العدد 1 ليس أولياً ولا مركباً، وليس له عوامل أولية.

ما مدى دقة اختبار الأولية؟

لكل عدد دون 3.3 × 10²⁴ الاختبار دقيق، لأن الأسس من 2 إلى 41 معروفة بأنها تحسم الأولية في ذلك المدى. والأداة هنا تقبل أعداداً حتى 10¹⁵ فقط.

ماذا يخبرني عدد القواسم؟

يعدّ كل عدد صحيح يقسم العدد قسمة تامة، بما فيها 1 والعدد نفسه. ويُحسب من الأسس: تضرب كل أس زائد واحد.

هل تُرسل الأعداد التي أكتبها إلى خادم؟

لا. يجري التحليل في متصفحك، ولا يُرسل إلينا أي شيء تكتبه.

المصادر

آخر مراجعة للأرقام والنص: الثلاثاء، 30 جمادى الأولى 1448 بعد الهجرة.

النتيجة

طريقة الحساب