Mode d'emploi
- Saisissez un nombre entier de 1 à 10¹⁵ dans Nombre entier. Les espaces à l'intérieur du nombre sont acceptés.
- Lisez Décomposition en facteurs premiers et le tableau des facteurs premiers avec leurs exposants.
- Vérifiez Nombre de diviseurs, Somme des diviseurs et Est-il premier ?.
- Parcourez Détail du calcul pour voir l'arbre de facteurs, une division à la fois.
Comment les facteurs sont trouvés
La division d'essai divise le nombre par 2, 3 et 5, puis par les nombres premiers avec 30 (7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 et ainsi de suite), à chaque fois que la division tombe juste. Elle s'arrête à 10 000 ou lorsque le carré du candidat suivant dépasse ce qui reste.
Le reste est soit 1, soit un nombre premier, soit un nombre composé de deux facteurs premiers supérieurs à 10 000. Un nombre premier est reconnu par le test de Miller-Rabin, et un nombre composé est décomposé par la méthode rho de Pollard, qui trouve un diviseur par une recherche de cycle.
Diviseurs et somme des diviseurs
Si n = p₁^e₁ × p₂^e₂ × … alors n a (e₁ + 1) × (e₂ + 1) × … diviseurs. La somme des diviseurs est le produit des sommes 1 + p + … + p^e, pour chaque puissance de nombre premier.
Un nombre premier a deux diviseurs, 1 et lui-même : sa somme des diviseurs vaut donc un de plus que le nombre. Le nombre 1 a un seul diviseur et n'est pas premier.
n = p₁^e₁ × … × p_k^e_k
nombre de diviseurs = (e₁ + 1) × … × (e_k + 1)
somme des diviseurs = (1 + p₁ + … + p₁^e₁) × … × (1 + p_k + … + p_k^e_k)Ce que le calculateur ne couvre pas
- Les nombres supérieurs à 10¹⁵, ainsi que les nombres négatifs, les décimales et les fractions.
- La factorisation de plusieurs nombres à la fois : utilisez le calculateur de pgcd et ppcm pour une liste de nombres.
- Une preuve de primalité pour les nombres supérieurs à 3,3 × 10²⁴ : le test ici est exact en dessous de cette limite.
Exemple détaillé : 600851475143
La division d'essai retire 71, 839, 1 471 et 6 857, une fois chacun, donc 600851475143 = 71 × 839 × 1 471 × 6 857. Tous les exposants valent 1, donc il y a 2 × 2 × 2 × 2 = 16 diviseurs.
La somme des diviseurs est (1 + 71) × (1 + 839) × (1 + 1 471) × (1 + 6 857) = 72 × 840 × 1 472 × 6 858 = 610 544 148 480. Le nombre est composé, donc il n'est pas premier.
| Résultat | |
|---|---|
| Décomposition en facteurs premiers | 71 × 839 × 1 471 × 6 857 |
| Nombre de diviseurs | 16 |
| Somme des diviseurs | 610 544 148 480 |
| Est-il premier ? | Non |
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une décomposition en facteurs premiers ?
C'est l'écriture d'un nombre entier comme un produit de nombres premiers. Par exemple, 84 = 2 × 2 × 3 × 7, qui s'écrit 2² × 3 × 7 avec l'exposant 2 sur le 2.
Pourquoi la division d'essai s'arrête-t-elle à 10 000 ?
La division d'essai est lente pour les grands nombres premiers : après les divisions jusqu'à 10 000, le reste est testé avec Miller-Rabin et décomposé par la méthode rho de Pollard. En dessous de 10¹⁵, le reste a au plus trois facteurs premiers, et les deux méthodes les trouvent vite.
1 est-il un nombre premier ?
Non. Un nombre premier a exactement deux diviseurs, alors que 1 n'en a qu'un. Le nombre 1 n'est donc ni premier ni composé, et il n'a pas de facteur premier.
Le test de primalité est-il fiable ?
Pour tout nombre inférieur à 3,3 × 10²⁴, le test est exact, car les bases 2 à 41 suffisent à trancher dans cet intervalle. Ce calculateur n'accepte que les nombres jusqu'à 10¹⁵.
À quoi sert le nombre de diviseurs ?
Il compte chaque entier qui divise exactement le nombre, y compris 1 et le nombre lui-même. On le trouve à partir des exposants : on ajoute 1 à chaque exposant, puis on multiplie les résultats.
Les nombres que je saisis sont-ils envoyés à un serveur ?
Non. La décomposition se fait dans votre navigateur : ce que vous saisissez ne nous est pas envoyé.
Sources
- Wikipédia (en anglais) : Integer factorization, avec la division d'essai et la méthode rho de Pollard
- Wikipédia (en anglais) : Pollard's rho algorithm
- Wikipédia (en anglais) : Miller-Rabin primality test
- Wikipédia (en anglais) : Divisor function, le nombre et la somme des diviseurs
Chiffres et texte vérifiés pour la dernière fois le mardi 10 novembre 2026.