Mode d'emploi
- Saisissez deux nombres entiers ou plus dans Nombres entiers, séparés par des points-virgules, des espaces ou des retours à la ligne.
- Lisez pgcd (plus grand commun diviseur) et ppcm (plus petit commun multiple). Le résultat se met à jour au fur et à mesure de votre saisie.
- Vérifiez Facteurs premiers de chaque nombre pour voir de quoi est fait chaque nombre.
- Parcourez le Détail du calcul pour suivre l'algorithme d'Euclide ligne par ligne.
Calcul du pgcd et du ppcm
Le pgcd se calcule avec l'algorithme d'Euclide. Divisez le plus grand nombre par le plus petit et gardez le reste. Puis divisez le plus petit nombre par ce reste, et recommencez. Lorsque le reste vaut 0, le dernier diviseur est le pgcd. La méthode fonctionne pour deux nombres entiers quelconques.
Pour plus de deux nombres, le pgcd se prend deux par deux : le pgcd des deux premiers, puis celui de ce résultat et du troisième nombre, et ainsi de suite. Le résultat ne dépend pas de l'ordre.
pgcd(a ; b) par Euclide : a = q × b + r, puis b = q₂ × r + r₂, jusqu'à ce que le reste soit 0
ppcm(a ; b) = a × b ÷ pgcd(a ; b)Facteurs premiers, pour vérifier
Chaque nombre se décompose en facteurs premiers par divisions d'essai par 2, 3 et 5, puis par les nombres qui ne sont multiples ni de 2, ni de 3, ni de 5. Les restes supérieurs à 10 000 sont testés pour la primalité et décomposés avec la méthode rho de Pollard.
Les facteurs premiers donnent les mêmes réponses. Le pgcd prend chaque nombre premier commun à tous les nombres, avec son plus petit exposant. Le ppcm prend chaque nombre premier qui apparaît, avec son plus grand exposant. Pour 84 et 126, les facteurs communs sont 2 ; 3 et 7, donc le pgcd vaut 2 × 3 × 7 = 42.
Ce que le calculateur accepte
- Des nombres entiers de toute longueur, comme 84 ou 123456789012345678901234567890.
- Jusqu'à 20 nombres dans une même liste, séparés par des points-virgules, des espaces ou des retours à la ligne.
- Non pris en charge : les décimaux, comme 1,5, les nombres négatifs et les séparateurs de milliers. Les facteurs premiers sont calculés pour les nombres allant jusqu'à 10¹⁸.
Exemple détaillé : 84 et 126
84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. L'algorithme d'Euclide donne 126 = 1 × 84 + 42, puis 84 = 2 × 42 + 0, donc le pgcd vaut 42.
Le ppcm vaut 84 × 126 ÷ 42 = 252. Pour vérifier, pgcd × ppcm = 42 × 252 = 10 584, soit la même valeur que 84 × 126.
| Résultat | |
|---|---|
| pgcd | 42 |
| ppcm | 252 |
| pgcd × ppcm, égal à 84 × 126 | 10 584 |
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le pgcd et le ppcm ?
Le pgcd est le plus grand entier qui divise chaque nombre de la liste. Le ppcm est le plus petit entier positif que chaque nombre divise. Pour 4 et 6, le pgcd vaut 2 et le ppcm 12.
Comment fonctionne l'algorithme d'Euclide ?
Divisez le plus grand nombre par le plus petit et gardez le reste. Divisez le plus petit nombre par ce reste, et continuez jusqu'à obtenir un reste égal à 0. Le dernier diviseur est le pgcd, et chaque ligne du calcul est affichée dans les étapes.
Puis-je saisir plus de deux nombres ?
Oui, jusqu'à 20 nombres dans une même liste. Le pgcd et le ppcm se prennent deux par deux, de gauche à droite, et le résultat final est le même quel que soit l'ordre des nombres.
Pourquoi le ppcm vaut-il 0 lorsque l'un des nombres est 0 ?
Zéro est un multiple de tous les nombres. Par convention, une liste qui contient 0 a pour ppcm 0, et le pgcd ignore le 0, sauf si tous les nombres sont nuls.
Le calcul fonctionne-t-il avec de très grands nombres ?
Oui. Le pgcd et le ppcm sont exacts pour des nombres de toute longueur. Les facteurs premiers sont calculés jusqu'à 10¹⁸ ; au-delà, le tableau affiche un tiret.
Les nombres que je saisis sont-ils envoyés à un serveur ?
Non. Le calcul se fait dans votre navigateur, et rien de ce que vous saisissez n'est envoyé à nos serveurs.
Sources
- Wikipédia (en anglais) : Euclidean algorithm
- Wikipédia (en anglais) : Greatest common divisor
- Wikipédia (en anglais) : Least common multiple
- Wikipédia (en anglais) : Integer factorization, avec la division d'essai et la méthode rho de Pollard
Chiffres et texte vérifiés pour la dernière fois le mardi 10 novembre 2026.