Cómo se usa
- Elija Forma de escribir el polinomio: como polinomio, o como lista de coeficientes.
- Escriba el polinomio en Polinomio en x, o los números de la mayor potencia a la menor en Coeficientes, de la mayor potencia a la menor.
- Lea Resumen y la tabla Las raíces. Comprobación indica si cada raíz supera la prueba por sustitución.
- Siga Cómo se calcula para ver el teorema de las raíces racionales, cada división y el procedimiento para el resto.
Raíces racionales, formas cerradas y raíces numéricas
Una raíz racional p/q de un polinomio con coeficientes enteros tiene p como divisor del término independiente y q como divisor del coeficiente principal. Cada candidata se prueba con la división sintética, y cada raíz hallada se divide fuera, así que el polinomio se acorta. La cuadrática que queda se resuelve con la fórmula cuadrática, y sus raíces cuadradas se escriben como k√m. Un polinomio solo en x² se resuelve mediante y = x² cuando sus raíces en y son racionales.
x = (−b ± √D) ÷ 2a, con D = b² − 4ac
p(x) = (x − r)·q(x) + resto, con resto 0 para una raíz r- El grado 1 y el 2 se resuelven siempre con exactitud; un cúbico o un cuártico solo se resuelve con exactitud cuando el teorema de las raíces racionales o la forma en x² lo reduce a una cuadrática.
- Otros polinomios, como x³ − 2 o uno de quinto grado, se resuelven numéricamente: Durand–Kerner encuentra todas las raíces a la vez, y pasos de Newton las afinan.
- Cada raíz numérica se comprueba sustituyéndola en el polinomio original; un residuo relativo cercano a 10⁻¹⁵ indica que es precisa.
Lo que la calculadora no cubre
La calculadora trabaja con un polinomio en x de grado 1 a 6 con coeficientes reales. Las raíces múltiples que no son racionales se hallan numéricamente, así que sus valores decimales pueden ser menos precisos que los demás.
- Los polinomios de grado 7 o superior, y los de varias variables, se rechazan.
- No se usan la fórmula de Cardano para cúbicas ni la de Ferrari para cuárticas; el cálculo numérico cubre esos casos.
- Los divisores de términos independientes muy grandes solo se buscan en parte, y la página lo indica cuando ocurre.
Ejemplo resuelto: 2x³ − 3x + 1 = 0
Las candidatas son ±1 y ±1/2. La división sintética entre x − 1 da los coeficientes 2, 2, −1 con resto 0, así que 1 es raíz y el cociente es 2x² + 2x − 1.
Para el cociente, D = 2² − 4 × 2 × (−1) = 12 = 2²·3, así que sus raíces son (−1 ± √3)/2, unas 0,366 y −1,366. Las tres raíces son reales.
| Paso | Resultado |
|---|---|
| Raíz racional | 1 |
| Cociente tras dividir entre x − 1 | 2x² + 2x − 1 |
| Raíces del cociente | (−1 ± √3)/2 ≈ 0,366 y −1,366 |
| Resumen | Grado 3: 3 raíces reales |
Preguntas frecuentes
¿Qué es el teorema de las raíces racionales?
Enumera los únicos números racionales que pueden ser raíces de un polinomio con coeficientes enteros: p/q, donde p divide al término independiente y q divide al coeficiente principal. La calculadora prueba cada uno con la división sintética.
¿Por qué algunas raíces aparecen como decimales?
Una raíz que no es racional y no tiene una forma cerrada sencilla, como la raíz cúbica de 2, se halla numéricamente y se muestra como decimal. La columna de residuo indica lo cerca que está de una raíz verdadera.
¿Qué significa el residuo?
El residuo es |p(x)| en la raíz, dividido entre el tamaño de los términos del polinomio. Un valor cercano a 10⁻¹⁵ significa que la raíz es correcta hasta el límite de la aritmética; un valor mayor indica que la raíz es menos precisa.
¿Cómo introduzco un polinomio con fracciones?
Use la lista de coeficientes y escriba cada fracción como un número, como 1/2 para un medio. En la forma escrita, ponga la fracción delante de la potencia sin paréntesis: 1/2x^2 + 1. Los productos de paréntesis no se desarrollan, así que escriba el polinomio completo.
¿Se envían a un servidor mis números?
No. Las raíces se calculan en su navegador y no se envía nada de lo que escribe.
Fuentes
- Wikipedia (en inglés): Teorema de las raíces racionales
- Wikipedia (en inglés): División sintética
- Wikipedia (en inglés): Algoritmo de Durand–Kerner
- Wikipedia (en inglés): Ecuación cúbica
Cifras y texto revisados por última vez el martes, 10 de noviembre de 2026.