So verwenden Sie es
- Wählen Sie unter Eingabeart: als Polynom oder als Liste der Koeffizienten.
- Tragen Sie das Polynom unter Polynom in x ein oder die Zahlen vom höchsten Exponenten an absteigend unter Koeffizienten, vom höchsten Exponenten an.
- Lesen Sie die Zusammenfassung und die Tabelle Die Nullstellen ab. Prüfung zeigt, ob jede Nullstelle die Probe durch Einsetzen besteht.
- Gehen Sie unter So wird es berechnet durch, um den Satz über rationale Nullstellen, jede Division und das Verfahren für den Rest zu sehen.
Rationale Nullstellen, geschlossene Formeln und numerische Nullstellen
Eine rationale Nullstelle p/q eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten hat p als Teiler des konstanten Gliedes und q als Teiler des höchsten Koeffizienten. Jeder Kandidat wird mit dem Horner-Schema geprüft, und jede gefundene Nullstelle wird abgespalten, sodass das Polynom kürzer wird. Ein verbleibendes quadratisches Polynom wird mit der Mitternachtsformel gelöst, und seine Quadratwurzeln werden als k√m geschrieben. Ein Polynom, das nur von x² abhängt, wird über y = x² gelöst, wenn seine y-Nullstellen rational sind.
x = (−b ± √D) ÷ 2a, mit D = b² − 4ac
p(x) = (x − r)·q(x) + Rest, mit Rest 0 für eine Nullstelle r- Grad 1 und 2 werden immer genau gelöst. Ein Polynom dritten oder vierten Grades wird nur genau gelöst, wenn der Satz über rationale Nullstellen oder die Form mit x² es auf eine quadratische Gleichung zurückführt.
- Andere Polynome, etwa x³ − 2 oder eines fünften Grades, werden numerisch gelöst: Das Durand-Kerner-Verfahren findet alle Nullstellen gleichzeitig, und Newton-Schritte verfeinern sie.
- Jede numerische Nullstelle wird geprüft, indem man sie in das ursprüngliche Polynom einsetzt. Ein relatives Residuum nahe 10⁻¹⁵ bedeutet, dass sie genau ist.
Was der Rechner nicht abdeckt
Der Rechner behandelt ein Polynom in x vom Grad 1 bis 6 mit reellen Koeffizienten. Nicht rationale Nullstellen werden numerisch gefunden. Ihre Dezimalwerte sind daher unter Umständen weniger genau als die übrigen.
- Polynome vom Grad 7 oder höher und Polynome in mehreren Variablen werden abgelehnt.
- Die cardanische Formel für kubische und die ferrarische Formel für quartische Gleichungen werden nicht verwendet. Das numerische Verfahren deckt diese Fälle ab.
- Teiler sehr großer konstanter Glieder werden nur teilweise durchsucht, und die Seite sagt es, wenn das geschieht.
Rechenbeispiel: 2x³ − 3x + 1 = 0
Die Kandidaten sind ±1 und ±1/2. Das Horner-Schema durch x − 1 ergibt die Koeffizienten 2; 2; −1 mit Rest 0. Also ist 1 eine Nullstelle, und der Quotient ist 2x² + 2x − 1.
Für den Quotienten gilt D = 2² − 4 × 2 × (−1) = 12 = 2²·3. Die Nullstellen sind daher (−1 ± √3)/2, etwa 0,366 und −1,366. Alle drei Nullstellen sind reell.
| Schritt | Ergebnis |
|---|---|
| Rationale Nullstelle | 1 |
| Quotient nach Division durch x − 1 | 2x² + 2x − 1 |
| Nullstellen des Quotienten | (−1 ± √3)/2 ≈ 0,366 und −1,366 |
| Zusammenfassung | Grad 3: 3 reelle Nullstellen |
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Satz über rationale Nullstellen?
Er nennt die einzigen rationalen Zahlen, die Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sein können: p/q, wobei p das konstante Glied und q den höchsten Koeffizienten teilt. Der Rechner prüft jede davon mit dem Horner-Schema.
Warum werden manche Nullstellen als Dezimalzahlen angezeigt?
Eine Nullstelle, die nicht rational ist und keine einfache geschlossene Form hat, etwa die dritte Wurzel aus 2, wird numerisch gefunden und als Dezimalzahl angezeigt. Die Spalte Residuum zeigt, wie nahe sie an einer echten Nullstelle liegt.
Was bedeutet das Residuum?
Das Residuum ist |p(x)| an der Nullstelle, geteilt durch die Größe der Terme des Polynoms. Ein Wert nahe 10⁻¹⁵ bedeutet, dass die Nullstelle bis zur Grenze der Rechengenauigkeit stimmt. Ein größerer Wert heißt, dass sie weniger genau ist.
Wie gebe ich ein Polynom mit Brüchen ein?
Verwenden Sie die Koeffizientenliste und schreiben Sie jeden Bruch als Zahl, etwa 1/2 für ein Halb. Bei der Eingabe als Polynom schreiben Sie den Bruch vor der Potenz ohne Klammern: 1/2x^2 + 1. Produkte aus Klammern werden nicht ausmultipliziert, schreiben Sie das Polynom daher aus.
Werden die Zahlen, die ich eingebe, an einen Server geschickt?
Nein. Die Nullstellen werden in Ihrem Browser berechnet, und nichts, was Sie eingeben, wird an uns übermittelt.
Quellen
- Wikipedia (englisch): Rational root theorem, Satz über rationale Nullstellen
- Wikipedia (englisch): Synthetic division, Horner-Schema
- Wikipedia (englisch): Durand–Kerner method, Durand-Kerner-Verfahren
- Wikipedia (englisch): Cubic equation, kubische Gleichung
Zahlen und Text zuletzt geprüft: Dienstag, 10. November 2026.