So verwenden Sie es
- Tragen Sie die Zahl vor x² in Zahl a (vor x²) ein. Sie darf nicht 0 sein.
- Tragen Sie die Zahl vor x in Zahl b (vor x) und die Konstante in Zahl c (Konstante) ein. Negative Zahlen bekommen ein Minuszeichen.
- Lesen Sie Lösungen (Werte von x) und die Diskriminante D = b² − 4ac ab. Das Ergebnis aktualisiert sich bei jeder Eingabe.
- Prüfen Sie Scheitelpunkt, Faktorisierte Form und den Graphen, und gehen Sie den Rechenweg durch, um jeden Schritt zu sehen.
Die Mitternachtsformel und die Diskriminante
Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0, wobei a nicht 0 ist. Ihre Lösungen liefert die Mitternachtsformel, im Unterricht oft auch abc-Formel genannt. Die Zahl unter der Wurzel, D = b² − 4ac, heißt Diskriminante. Sie entscheidet, welche Art von Lösungen es gibt.
x = (−b ± √D) ÷ 2a
D = b² − 4ac- D größer als 0: zwei verschiedene reelle Lösungen.
- D gleich 0: eine reelle Lösung, −b ÷ 2a, die als doppelte Lösung zählt.
- D kleiner als 0: zwei komplexe Lösungen a ± bi, wobei i die Wurzel aus −1 ist.
Genaue Lösungen und Dezimalwerte
Ist D eine Quadratzahl, sind die Lösungen einfache Brüche. Sonst bleibt die Wurzel genau stehen: Für x² − 8x + 4 = 0 gilt D = 48 = 4² × 3, also sind die Lösungen 4 − 2√3 ≈ 0,5359 und 4 + 2√3 ≈ 7,4641.
Die Dezimalwerte verwenden die stabile Form der Formel, q = −(b + sgn(b)√D) ÷ 2, mit x₁ = q ÷ a und x₂ = c ÷ q. Bei der üblichen Schreibweise verliert eine der Lösungen die meisten Stellen, wenn −b und √D entgegengesetzte Vorzeichen haben und fast gleich groß sind. Die stabile Form vermeidet diesen Verlust.
Was der Rechner nicht abdeckt
- Gleichungen mit a gleich 0, die linear sind, sowie Gleichungen dritten oder höheren Grades.
- Quadratische Teiler über 10.000 in D werden nicht herausgezogen. Eine Lösung ist dann unter Umständen nicht ganz vereinfacht.
- Gleichungen mit einer anderen Variablen als x oder mit mehr als drei Zahlen.
Rechenbeispiel: x² − 5x + 6 = 0
Mit a = 1, b = −5 und c = 6 ist die Diskriminante D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. D ist positiv und eine Quadratzahl, daher sind beide Lösungen rational: x = (5 ± 1) ÷ 2, also 3 und 2.
Der Scheitelpunkt liegt bei x = 5/2, also 2,5, und der tiefste Punkt der Parabel ist (2,5; −0,25). Die faktorisierte Form ist (x − 2)(x − 3), der Graph schneidet die x-Achse also bei 2 und 3.
| Ergebnis | |
|---|---|
| Lösungen | x₁ = 2 und x₂ = 3 |
| Diskriminante | 1 |
| Scheitelpunkt | (2,5; −0,25) |
| Faktorisierte Form | (x − 2)(x − 3) |
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Diskriminante?
Die Diskriminante D = b² − 4ac ist der Teil der Mitternachtsformel unter der Wurzel. Ist D positiv, gibt es zwei reelle Lösungen. Ist D null, gibt es eine doppelte Lösung, und ist D negativ, sind die Lösungen komplex.
Was ist der Unterschied zwischen Mitternachtsformel und pq-Formel?
Die pq-Formel gilt für die Normalform x² + px + q = 0, bei der a gleich 1 ist. Setzen Sie in der Mitternachtsformel a = 1, b = p und c = q ein, erhalten Sie dasselbe Ergebnis wie mit der pq-Formel. Dieser Rechner braucht deshalb keine Normalform.
Warum erscheinen Lösungen wie 4 − 2√3?
Manche Lösungen sind weder ganze Zahlen noch einfache Brüche. Die genaue Form 4 − 2√3 steht zuerst, danach folgt der Dezimalwert 0,5359, sodass Sie beide verwenden können.
Was bedeutet der Scheitelpunkt?
Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel (a größer als 0) und der höchste Punkt einer nach unten geöffneten (a kleiner als 0). Seine x-Koordinate ist −b ÷ 2a.
Kann a gleich 0 sein?
Nein. Ist a gleich 0, entfällt das x²-Glied, und die Gleichung ist linear mit der einzigen Lösung −c ÷ b. Eine quadratische Gleichung braucht für a eine Zahl ungleich 0.
Funktioniert der Rechner auch mit Dezimalzahlen?
Ja. Dezimalzahlen mit Komma, etwa 0,5x² + x + 0,125 = 0, werden genau gelesen und ohne vorheriges Runden gelöst.
Werden die eingegebenen Zahlen an einen Server geschickt?
Nein. Die Gleichung wird in Ihrem Browser gelöst. Was Sie eingeben, wird nicht an uns übermittelt.
Quellen
Zahlen und Text zuletzt geprüft: Dienstag, 10. November 2026.