Matrizenrechner: Inverse, Determinante, Rang und Rechenweg

So verwenden Sie es

Tragen Sie Matrix A unter Matrix A ein, eine Zeile je Textzeile, die Zahlen einer Zeile durch Leerzeichen getrennt.
Wählen Sie die Rechenart. Beim Addieren, Subtrahieren oder Multiplizieren tragen Sie Matrix B unter Matrix B ein.
Lesen Sie das Ergebnis und die Matrix ab. Bei der Determinante und der Inverse prüfen Sie Invertierbar?.
Gehen Sie unter So wird es berechnet jeden Eintrag und jeden Umformungsschritt durch.

Produkte, Summen und Transponierte

Zwei Matrizen werden Eintrag für Eintrag addiert oder subtrahiert, daher müssen sie dieselbe Größe haben. Ein Eintrag des Produkts A × B ist die Summe der Produkte einer Zeile von A mit einer Spalte von B. Deshalb muss A so viele Spalten haben, wie B Zeilen hat.

Die Transponierte vertauscht Zeilen und Spalten: Der Eintrag in Zeile i und Spalte j wandert in Zeile j und Spalte i.

(A × B) in Zeile i, Spalte j = Σ a(i,k) × b(k,j), summiert über k

Determinante, Inverse und Rang

Die Determinante einer quadratischen Matrix wird durch Zeilenumformungen bestimmt. Das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen lässt sie unverändert, das Vertauschen zweier Zeilen ändert ihr Vorzeichen. Die Determinante ist daher das Produkt der Diagonale der Dreiecksform, mit diesem Vorzeichen.

Die Inverse findet man mit dem Gauß-Jordan-Verfahren: Dieselben Zeilenumformungen, die A in die Einheitsmatrix überführen, machen aus der Einheitsmatrix A⁻¹. Eine Matrix mit der Determinante 0 ist singulär und hat keine Inverse. Der Rang ist die Anzahl der Pivotelemente in der reduzierten Zeilenstufenform.

Was der Rechner nicht abdeckt

Matrizen mit mehr als 8 Zeilen oder 8 Spalten sowie Matrizen mit komplexen Zahlen.
Eigenwerte, Zerlegungen und Matrixgleichungen mit Unbekannten. Für lineare Gleichungssysteme nutzen Sie Gleichungssystem lösen.
Dezimalnäherungen: Jedes Ergebnis ist genau, daher wird eine Dezimaleingabe als Bruch angezeigt.

Rechenbeispiel: die Inverse der Matrix mit den Zeilen 2 1 und 1 3

Die Determinante ist 2 × 3 − 1 × 1 = 5. Sie ist nicht 0, daher hat die Matrix eine Inverse. Das Gauß-Jordan-Verfahren ergibt die Inverse, deren Zeilen 3/5 −1/5 und −1/5 2/5 sind.

Probe: Die Matrix mit den Zeilen 2 1 und 1 3, multipliziert mit ihrer Inverse, ergibt die Einheitsmatrix mit den Zeilen 1 0 und 0 1.

	Ergebnis
Determinante	5
Inverse, Zeile 1	3/5 und −1/5
Inverse, Zeile 2	−1/5 und 2/5

Häufig gestellte Fragen

Wie gebe ich eine Matrix ein?

Schreiben Sie jede Zeile in eine eigene Zeile des Textfelds und trennen Sie die Zahlen einer Zeile durch Leerzeichen. Die Matrix mit den Zeilen 2 1 und 1 3 tragen Sie als zwei Zeilen ein: 2 1 und 1 3.

Was bedeutet es, wenn eine Matrix singulär ist?

Eine singuläre Matrix hat die Determinante 0. Ihre Zeilen oder Spalten hängen voneinander ab, daher hat sie keine Inverse, und das System, das sie beschreibt, hat keine eindeutige Lösung.

Warum zeigt das Ergebnis Brüche statt Dezimalzahlen?

Der Rechner arbeitet mit genauen Brüchen, daher wird nichts gerundet. Die Inverse der Matrix mit den Zeilen 2 1 und 1 3 hat zum Beispiel den Eintrag 3/5, also genau 0,6.

Warum kann ich manche Matrizen nicht multiplizieren?

Zum Multiplizieren von A mit B muss die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B sein. Eine 2 × 2-Matrix mal eine 3 × 1-Matrix ist nicht definiert, daher erklärt der Rechner stattdessen die Größen.

Was ist der Rang einer Matrix?

Der Rang ist die Anzahl der Pivotelemente in der reduzierten Zeilenstufenform, also die Anzahl der voneinander unabhängigen Zeilen. Eine quadratische Matrix hat vollen Rang, also den Rang ihrer Größe, genau dann, wenn sie invertierbar ist.

Werden die Matrizen, die ich eingebe, an einen Server geschickt?

Nein. Die Berechnung läuft in Ihrem Browser, und nichts, was Sie eingeben, wird an uns übermittelt.

Quellen

Zahlen und Text zuletzt geprüft: Dienstag, 10. November 2026.

Ergebnis

So wird es berechnet