Как пользоваться
- Введите матрицу A в Матрица A (по одной строке матрицы в строке): по одной строке матрицы в строке текста, числа строки через пробел.
- Выберите Действие. Для сложения, вычитания или умножения введите матрицу B в Матрица B (для сложения, вычитания и умножения).
- Прочитайте Результат и Матрица. Для определителя и обратной матрицы проверьте Обратима?.
- Пройдите по Как получен результат, чтобы увидеть каждый элемент или каждую операцию над строками.
Произведение, сумма и транспонирование
Матрицы складываются и вычитаются поэлементно, поэтому они должны быть одного размера. Элемент произведения A × B — это сумма произведений строки A на столбец B, поэтому число столбцов A должно равняться числу строк B.
Транспонирование меняет строки и столбцы местами: элемент строки i и столбца j переходит в строку j и столбец i.
(A × B) в строке i, столбце j = Σ a(i,k) × b(k,j), сумма по kОпределитель, обратная матрица и ранг
Определитель квадратной матрицы находится приведением к ступенчатому виду. Прибавление кратного одной строки к другой его не меняет, а перестановка двух строк меняет знак, поэтому определитель равен произведению диагонали треугольного вида с учётом этого знака.
Обратная матрица находится методом Гаусса — Жордана: те же операции над строками, которые превращают A в единичную матрицу, превращают единичную в A⁻¹. Матрица с определителем 0 вырождена и обратной не имеет. Ранг — это число ведущих элементов в приведённом ступенчатом виде.
Что калькулятор не охватывает
- Матрицы больше 8 строк или 8 столбцов, а также матрицы с комплексными числами.
- Собственные значения, разложения и матричные уравнения с неизвестными; для линейных систем используйте калькулятор систем уравнений.
- Десятичные приближения: каждый результат точный, поэтому десятичный ввод показывается дробью.
Пример: обратная матрица для строк 2 1 и 1 3
Определитель равен 2 × 3 − 1 × 1 = 5, он не равен 0, поэтому обратная матрица существует. Метод Гаусса — Жордана даёт обратную матрицу, строки которой 3/5 −1/5 и −1/5 2/5.
Проверка: матрица со строками 2 1 и 1 3, умноженная на обратную, даёт единичную матрицу со строками 1 0 и 0 1.
| Результат | |
|---|---|
| Определитель | 5 |
| Обратная матрица, строка 1 | 3/5 и −1/5 |
| Обратная матрица, строка 2 | −1/5 и 2/5 |
Частые вопросы
Как ввести матрицу?
Каждую строку пишите в отдельной строке текста, а числа в строке разделяйте пробелами. Матрица со строками 2 1 и 1 3 вводится как две строки: 2 1 и 1 3.
Что значит, что матрица вырождена?
У вырожденной матрицы определитель равен 0. Её строки (или столбцы) зависят друг от друга, поэтому обратной матрицы нет, и система, которую она описывает, не имеет единственного решения.
Почему результат показан дробями, а не десятичными числами?
Калькулятор работает с точными дробями, поэтому округления не происходит. Например, в обратной матрице со строками 2 1 и 1 3 есть элемент 3/5, то есть точно 0,6 в виде дроби.
Почему некоторые матрицы нельзя перемножить?
Чтобы перемножить A на B, число столбцов A должно равняться числу строк B. Произведение матрицы 2 × 2 на матрицу 3 × 1 не определено, поэтому калькулятор объясняет размеры.
Что такое ранг матрицы?
Ранг — это число ведущих элементов в приведённом ступенчатом виде, то есть число независимых строк. Квадратная матрица имеет полный ранг, то есть ранг, равный её размеру, именно тогда, когда она обратима.
Отправляются ли введённые матрицы на сервер?
Нет. Расчёт выполняется в вашем браузере, и ничего из введённого не передаётся на сервер.
Источники
- Wikipedia (на английском): Matrix (mathematics)
- Wikipedia (на английском): Gaussian elimination, Gauss-Jordan and the inverse
- Wikipedia (на английском): Determinant, computed by row reduction
- Wikipedia (на английском): Rank (linear algebra)
Цифры и текст в последний раз проверены вторник, 10 ноября 2026 г..