Calculateur de matrices : inverse, déterminant, rang

Mode d'emploi

Saisissez la matrice A dans Matrice A, une ligne par ligne, avec les nombres d'une ligne séparés par des espaces.
Choisissez l'Opération. Pour l'addition, la soustraction ou la multiplication, saisissez la matrice B dans Matrice B.
Lisez Résultat et la Matrice. Pour le déterminant et l'inverse, vérifiez Inversible ?.
Parcourez Détail du calcul pour voir chaque terme et chaque opération sur les lignes.

Produits, sommes et transposées

Deux matrices s'additionnent ou se soustraient terme à terme : elles doivent donc avoir la même taille. Un terme du produit A × B est la somme des produits d'une ligne de A par une colonne de B. A doit donc avoir autant de colonnes que B a de lignes.

La transposée échange lignes et colonnes : le terme de la ligne i et de la colonne j passe à la ligne j et à la colonne i.

(A × B) à la ligne i, colonne j = Σ a(i,k) × b(k,j), somme sur k

Déterminant, inverse et rang

Le déterminant d'une matrice carrée se calcule par réduction des lignes. Ajouter un multiple d'une ligne à une autre le conserve, et échanger deux lignes change son signe. Le déterminant est donc le produit des termes de la diagonale de la forme triangulaire, avec ce signe.

L'inverse se calcule par la méthode de Gauss-Jordan : les mêmes opérations sur les lignes qui transforment A en identité transforment l'identité en A⁻¹. Une matrice de déterminant 0 est singulière et n'a pas d'inverse. Le rang est le nombre de pivots de la forme échelonnée réduite.

Ce que le calculateur ne couvre pas

Les matrices de plus de 8 lignes ou de 8 colonnes, et les matrices à nombres complexes.
Les valeurs propres, les décompositions et les équations matricielles à inconnues ; pour les systèmes linéaires, utilisez le solveur de systèmes d'équations.
Les valeurs approchées : chaque résultat est exact, donc une décimale saisie s'affiche sous forme de fraction.

Exemple détaillé : l'inverse de la matrice dont les lignes sont 2 1 et 1 3

Le déterminant vaut 2 × 3 − 1 × 1 = 5, qui n'est pas 0 : la matrice a donc un inverse. La méthode de Gauss-Jordan donne l'inverse, dont les lignes sont 3/5 −1/5 et −1/5 2/5.

Vérification : la matrice dont les lignes sont 2 1 et 1 3, multipliée par son inverse, donne la matrice identité dont les lignes sont 1 0 et 0 1.

	Résultat
Déterminant	5
Inverse, ligne 1	3/5 et −1/5
Inverse, ligne 2	−1/5 et 2/5

Questions fréquentes

Comment saisir une matrice ?

Écrivez chaque ligne sur une ligne différente, et séparez les nombres d'une ligne par des espaces. La matrice dont les lignes sont 2 1 et 1 3 se saisit sur deux lignes : 2 1, puis 1 3.

Que signifie qu'une matrice est singulière ?

Une matrice singulière a un déterminant égal à 0. Ses lignes (ou ses colonnes) dépendent les unes des autres : elle n'a donc pas d'inverse, et le système qu'elle décrit n'a pas de solution unique.

Pourquoi le résultat affiche-t-il des fractions plutôt que des décimales ?

Le calculateur travaille avec des fractions exactes, donc aucun arrondi n'intervient. Par exemple, l'inverse de la matrice dont les lignes sont 2 1 et 1 3 contient le terme 3/5, soit 0,6 écrit exactement.

Pourquoi certaines matrices ne peuvent-elles pas être multipliées ?

Pour multiplier A par B, le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B. Le produit d'une matrice 2 × 2 par une matrice 3 × 1 n'est pas défini : le calculateur explique donc les tailles au lieu de calculer.

Qu'est-ce que le rang d'une matrice ?

Le rang est le nombre de pivots de la forme échelonnée réduite, c'est-à-dire le nombre de lignes indépendantes. Une matrice carrée a le rang maximal, égal à sa taille, exactement lorsqu'elle est inversible.

Les matrices que je saisis sont-elles envoyées à un serveur ?

Non. Le calcul se fait dans votre navigateur : ce que vous saisissez ne nous est pas envoyé.

Sources

Chiffres et texte vérifiés pour la dernière fois le mardi 10 novembre 2026.

Résultat

Détail du calcul