Mode d'emploi
- Choisissez la Dimension : 2D ou 3D.
- Choisissez l'Opération. Saisissez ensuite les composantes du vecteur a dans Vecteur a (composantes séparées par des espaces), puis celles du vecteur b ou c là où la page le demande.
- Lisez le Résultat. Pour les produits scalaire et vectoriel, Vérification indique si les vecteurs sont orthogonaux ou colinéaires.
- Parcourez Détail du calcul pour voir chaque composante.
Produits scalaire, vectoriel et mixte
Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de leurs composantes, a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Il est nul lorsque les vecteurs sont orthogonaux. Le produit vectoriel de deux vecteurs en 3D est un vecteur orthogonal aux deux, de composantes (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁). Le produit mixte a · (b × c) est le déterminant de la matrice dont les lignes sont a, b et c.
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)- La norme de a est |a| = √(a · a), et le vecteur unitaire a ÷ |a| est de norme 1.
- L'angle entre a et b découle de cos θ = (a · b) ÷ (|a| |b|).
- La projection de a sur b vaut ((a · b) ÷ (b · b)) b, et sa composante scalaire vaut (a · b) ÷ |b|.
Exactitude et ce que le calculateur ne couvre pas
Les composantes sont lues exactement : les produits scalaire, vectoriel et mixte ainsi que la projection sont donc exacts. Une norme est gardée sous la forme √ d'un nombre entier ou fractionnaire lorsque c'est possible, et l'angle est une décimale, car l'arc cosinus de la plupart des valeurs n'est pas une fraction simple de π.
- Vecteurs en 2D et en 3D seulement ; le produit vectoriel en 2D est le nombre unique a₁b₂ − a₂b₁.
- Les composantes complexes, les vecteurs à quatre dimensions ou plus, et les opérations matricielles ne sont pas traités : utilisez le calculateur de matrices pour les matrices.
- Un vecteur nul n'a pas de direction : le vecteur unitaire, l'angle et la projection sur lui sont donc refusés.
Exemple détaillé : le produit vectoriel de (1 ; 2 ; 3) et (4 ; −5 ; 6)
La première composante de a × b est 2 × 6 − 3 × (−5) = 12 + 15 = 27, la deuxième est 3 × 4 − 1 × 6 = 6 et la troisième est 1 × (−5) − 2 × 4 = −13. Donc a × b = (27 ; 6 ; −13). Pour vérifier, a · (27 ; 6 ; −13) = 27 + 12 − 39 = 0 : le produit vectoriel est bien orthogonal à a.
Le produit scalaire a · b vaut 4 − 10 + 18 = 12, et l'angle entre les vecteurs découle de cos θ = 12 ÷ (√14 × √77), soit environ 0,3655, ce qui donne 68,56°.
| Résultat | |
|---|---|
| Produit vectoriel a × b | (27 ; 6 ; −13) |
| Produit scalaire a · b | 12 |
| Norme de a | √14 ≈ 3,7417 |
| Angle entre a et b | 68,56° (1,1966 rad) |
Questions fréquentes
Que signifie un produit scalaire nul ?
Les deux vecteurs sont orthogonaux : ils forment un angle droit. La page l'écrit « Orthogonaux » dans la case de vérification, chaque fois que le produit scalaire vaut exactement 0.
Pourquoi le produit vectoriel n'est-il pas un nombre en 3D ?
Le produit vectoriel de deux vecteurs en 3D est un autre vecteur, orthogonal aux deux. En 2D, la même idée donne un nombre unique, a₁b₂ − a₂b₁, que la page affiche.
Comment saisir un vecteur ?
Saisissez ses composantes dans l'ordre, séparées par des espaces : 1 2 3 pour le vecteur de x = 1, y = 2 et z = 3. Une composante négative demande un signe moins, et les décimales utilisent la virgule.
Pourquoi une norme comme √14 apparaît-elle au lieu de 3,74 ?
La racine carrée est gardée exacte, donc le résultat est √14, suivi de sa valeur décimale approchée. Seule la décimale est arrondie, jamais le calcul lui-même.
Les vecteurs que je saisis sont-ils envoyés à un serveur ?
Non. Le calcul se fait dans votre navigateur : rien de ce que vous saisissez ne nous est envoyé.
Sources
- Wikipédia (en anglais) : Dot product
- Wikipédia (en anglais) : Cross product
- Wikipédia (en anglais) : Triple product
- Wikipédia (en anglais) : Vector projection
Chiffres et texte vérifiés pour la dernière fois le mardi 10 novembre 2026.