Vektorrechner: Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Länge und Winkel

So verwenden Sie es

Wählen Sie die Dimension: 2D oder 3D.
Wählen Sie die Rechenart. Tragen Sie dann die Komponenten von Vektor a unter Vektor a (Komponenten durch Leerzeichen getrennt) ein und die von Vektor b oder c, wo die Seite sie verlangt.
Lesen Sie das Ergebnis ab. Beim Skalar- und Kreuzprodukt sagt die Prüfung, ob die Vektoren senkrecht oder parallel sind.
Gehen Sie unter So wird es berechnet jede Komponente durch.

Skalar-, Kreuz- und Spatprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten, a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Es ist null, wenn die Vektoren senkrecht stehen. Das Kreuzprodukt zweier 3D-Vektoren ist ein Vektor, der auf beiden senkrecht steht, mit den Komponenten (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁). Das Spatprodukt a · (b × c) ist die Determinante der Matrix mit den Zeilen a, b und c.

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
a × b = (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁)

Die Länge von a ist |a| = √(a · a), und der Einheitsvektor a ÷ |a| hat die Länge 1.
Der Winkel zwischen a und b folgt aus cos θ = (a · b) ÷ (|a| |b|).
Die Projektion von a auf b ist ((a · b) ÷ (b · b)) b, und ihr skalarer Anteil ist (a · b) ÷ |b|.

Genauigkeit und was nicht abgedeckt ist

Die Komponenten werden genau gelesen, daher sind Skalar-, Kreuz- und Spatprodukt sowie die Projektion genau. Eine Länge bleibt als Wurzel einer ganzen Zahl oder eines Bruchs erhalten, wo das möglich ist. Der Winkel ist eine Dezimalzahl, weil der Arkuskosinus der meisten Werte kein einfaches Vielfaches von π ist.

Vektoren nur in 2D und 3D. Das Kreuzprodukt in 2D ist die einzelne Zahl a₁b₂ − a₂b₁.
Komplexe Komponenten, Vektoren in vier oder mehr Dimensionen und Matrixoperationen werden nicht behandelt. Für Matrizen nutzen Sie den Matrizenrechner.
Ein Nullvektor hat keine Richtung, daher werden Einheitsvektor, Winkel und Projektion darauf abgelehnt.

Rechenbeispiel: das Kreuzprodukt von (1; 2; 3) und (4; −5; 6)

Die erste Komponente von a × b ist 2 × 6 − 3 × (−5) = 12 + 15 = 27, die zweite ist 3 × 4 − 1 × 6 = 6 und die dritte ist 1 × (−5) − 2 × 4 = −13. Also ist a × b = (27; 6; −13). Zur Probe: a · (27; 6; −13) = 27 + 12 − 39 = 0. Das Kreuzprodukt steht daher senkrecht auf a.

Das Skalarprodukt a · b ist 4 − 10 + 18 = 12. Der Winkel zwischen den Vektoren folgt aus cos θ = 12 ÷ (√14 × √77), etwa 0,3655, also 68,56°.

	Ergebnis
Kreuzprodukt a × b	(27; 6; −13)
Skalarprodukt a · b	12
Länge von a	√14 ≈ 3,7417
Winkel zwischen a und b	68,56° (1,1966 rad)

Häufig gestellte Fragen

Was sagt ein Skalarprodukt von null aus?

Es bedeutet, dass die beiden Vektoren senkrecht stehen, also im rechten Winkel aufeinandertreffen. Die Seite schreibt dann Senkrecht in das Prüfungsfeld, wenn das Skalarprodukt genau 0 ergibt.

Warum ist das Kreuzprodukt in 3D keine Zahl?

Das Kreuzprodukt zweier 3D-Vektoren ist wieder ein Vektor, der auf beiden senkrecht steht. In 2D ergibt dieselbe Idee eine einzelne Zahl, a₁b₂ − a₂b₁, und die Seite zeigt diese Zahl.

Wie gebe ich einen Vektor ein?

Tragen Sie seine Komponenten in der Reihenfolge ein, durch Leerzeichen getrennt: 1 2 3 für den Vektor mit x = 1, y = 2 und z = 3. Negative Komponenten brauchen ein Minuszeichen, Dezimalzahlen verwenden das Komma.

Warum erscheint eine Länge wie √14 und nicht 3,74?

Die Wurzel bleibt genau, daher ist das Ergebnis √14, und danach steht die Dezimalnäherung. Nur die Dezimalzahl wird gerundet, nie die Rechnung selbst.

Werden die Vektoren, die ich eingebe, an einen Server geschickt?

Nein. Die Berechnung läuft in Ihrem Browser, und nichts, was Sie eingeben, wird an uns übermittelt.

Quellen

Zahlen und Text zuletzt geprüft: Dienstag, 10. November 2026.

Ergebnis

So wird es berechnet