Como usar
- Escolha a Dimensão: 2D ou 3D.
- Escolha a Operação. Depois digite os componentes do vetor a em Vetor a (componentes separados por espaços), e do vetor b ou c quando a página pedir.
- Leia o Resultado. Para os produtos escalar e vetorial, Verificação diz se os vetores são perpendiculares ou paralelos.
- Confira Como se calcula para ver cada componente.
Produtos escalar, vetorial e misto
O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes, a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Ele é zero quando os vetores são perpendiculares. O produto vetorial de dois vetores 3D é um vetor perpendicular a ambos, com componentes (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁). O produto misto a · (b × c) é o determinante da matriz com linhas a, b e c.
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
a × b = (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁)- O módulo de a é |a| = √(a · a), e o vetor unitário a ÷ |a| tem módulo 1.
- O ângulo entre a e b vem de cos θ = (a · b) ÷ (|a| |b|).
- A projeção de a sobre b é ((a · b) ÷ (b · b)) b, e sua componente escalar é (a · b) ÷ |b|.
Exatidão e o que a calculadora não cobre
Os componentes são lidos com exatidão, então os produtos escalar, vetorial e misto e a projeção são exatos. Um módulo é mantido como √ de um número inteiro ou fracionário quando isso é possível, e o ângulo é um decimal, porque o arco-cosseno da maioria dos valores não é uma fração simples de π.
- Vetores só em 2D e 3D; o produto vetorial em 2D é o número único a₁b₂ − a₂b₁.
- Componentes complexos, vetores de quatro ou mais dimensões e operações com matrizes não são cobertos: use a calculadora de matrizes para matrizes.
- Um vetor nulo não tem direção, então o vetor unitário, o ângulo e a projeção sobre ele são recusados.
Exemplo resolvido: o produto vetorial de (1; 2; 3) e (4; −5; 6)
O primeiro componente de a × b é 2 × 6 − 3 × (−5) = 12 + 15 = 27, o segundo é 3 × 4 − 1 × 6 = 6 e o terceiro é 1 × (−5) − 2 × 4 = −13. Então a × b = (27; 6; −13). Como conferência, a · (27; 6; −13) = 27 + 12 − 39 = 0, então o produto vetorial é perpendicular a a.
O produto escalar a · b é 4 − 10 + 18 = 12, e o ângulo entre os vetores vem de cos θ = 12 ÷ (√14 × √77), cerca de 0,3655, que é 68,56°.
| Resultado | |
|---|---|
| Produto vetorial a × b | (27; 6; −13) |
| Produto escalar a · b | 12 |
| Módulo de a | √14 ≈ 3,7417 |
| Ângulo entre a e b | 68,56° (1,1966 rad) |
Perguntas frequentes
O que significa um produto escalar igual a zero?
Significa que os dois vetores são perpendiculares, então formam um ângulo reto. A página escreve Perpendiculares na caixa de verificação sempre que o produto escalar dá exatamente 0.
Por que o produto vetorial não é um número em 3D?
O produto vetorial de dois vetores 3D é outro vetor, perpendicular a ambos. Em 2D, a mesma ideia dá um único número, a₁b₂ − a₂b₁, e a página mostra esse número.
Como digito um vetor?
Digite os componentes na ordem, separados por espaços: 1 2 3 para o vetor com x = 1, y = 2 e z = 3. Componentes negativos precisam do sinal de menos, e os decimais usam a vírgula.
Por que aparece um módulo como √14, e não 3,74?
A raiz quadrada é mantida exata, então o resultado é √14 e a aproximação decimal aparece depois. Só o decimal é arredondado, nunca o cálculo em si.
Os vetores que eu digito são enviados a algum servidor?
Não. O cálculo roda no seu navegador, e nada do que você digita é enviado para nós.
Fontes
- Wikipédia (em inglês): Dot product
- Wikipédia (em inglês): Cross product
- Wikipédia (em inglês): Triple product
- Wikipédia (em inglês): Vector projection
Números e texto verificados pela última vez em terça-feira, 10 de novembro de 2026.