Como usar
- Digite exatamente três valores: três entre os lados Lado a, Lado b, Lado c e os ângulos Ângulo α, Ângulo β, Ângulo γ. Deixe os outros campos vazios.
- Leia Número de triângulos. Dois triângulos aparecem só no caso LLA.
- Verifique os lados, os ângulos, a área, o perímetro, as alturas e o tipo na tabela.
- Acompanhe Como se calcula para ver a lei dos cossenos ou dos senos usada em cada passo.
As leis usadas
A lei dos cossenos dá um lado a partir de dois lados e do ângulo entre eles, c² = a² + b² − 2ab cos γ, e um ângulo a partir de três lados, cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2bc). A lei dos senos diz que a ÷ sen α = b ÷ sen β = c ÷ sen γ.
Os três ângulos somam 180°. A fórmula de Heron dá a área só a partir dos lados: com s = (a + b + c) ÷ 2, a área é √(s(s − a)(s − b)(s − c)). A altura sobre o lado a é 2 × área ÷ a.
c² = a² + b² − 2ab cos γ
a ÷ sen α = b ÷ sen β = c ÷ sen γ
área = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c) ÷ 2Os cinco casos
- LLL: três lados. Os ângulos vêm da lei dos cossenos.
- LAL: dois lados e o ângulo entre eles. O terceiro lado vem da lei dos cossenos, depois os ângulos.
- ALA e LAA: dois ângulos e um lado. O terceiro ângulo é 180° menos os outros dois, e a lei dos senos dá os lados.
- LLA: dois lados e um ângulo oposto a um deles. A lei dos senos dá o ângulo oposto ao outro lado. Esse ângulo e o seu suplementar podem caber, o que dá dois triângulos, ou um, ou nenhum.
O que a calculadora não cobre
- Triângulos em três dimensões, triângulos sobre uma esfera e problemas de triângulo retângulo com só a hipotenusa conhecida.
- Desenhos: o resultado é uma tabela e os passos, não uma figura.
- Ângulos em radianos: digite só graus.
Exemplo resolvido: lados 3, 4 e 5
Três lados são dados, então os ângulos vêm da lei dos cossenos: cos α = (16 + 25 − 9) ÷ 40 = 0,8, então α = 36,87°; β = 53,13°; e γ = 90°, um ângulo reto.
A fórmula de Heron dá s = 6, e a área √(6 × 3 × 2 × 1) = 6. O perímetro é 12 e as alturas são 4; 3 e 2,4.
| Resultado | |
|---|---|
| Ângulos α, β, γ | 36,87°; 53,13°; 90° |
| Área | 6 |
| Perímetro | 12 |
| Alturas h_a, h_b, h_c | 4; 3; 2,4 |
Perguntas frequentes
Quais três valores posso digitar?
Quaisquer três dos seis: os lados a, b e c, e os ângulos α, β e γ, desde que não sejam os três ângulos. Dois lados e um ângulo, ou dois ângulos e um lado, são as escolhas usuais.
O que é o caso ambíguo?
Quando dois lados e um ângulo oposto a um deles são conhecidos, o lado pode alcançar o outro lado em dois pontos, se o lado dado for curto. Então há dois triângulos, e ambos são mostrados com os seus próprios passos.
Por que a calculadora diz que não há triângulo?
Os valores não podem formar um triângulo. Três lados precisam satisfazer a desigualdade triangular, e um caso LLA não tem triângulo quando o lado oposto ao ângulo dado é curto demais para alcançar o outro lado.
Por que os ângulos vão só de 0° a 180°?
Cada ângulo de um triângulo é maior que 0° e menor que 180°, e a soma deles é 180°, então um ângulo fora dessa faixa não pode fazer parte de um triângulo.
Como se calcula a área?
A área vem da fórmula de Heron, a partir dos três lados, então funciona qualquer que sejam os valores conhecidos. As alturas são então 2 × área dividida pelo lado sobre o qual cada uma é traçada.
Os valores que eu digito são enviados a algum servidor?
Não. O triângulo é resolvido no seu navegador, e nada do que você digita é enviado para nós.
Fontes
- Wikipédia (em inglês): Law of cosines
- Wikipédia (em inglês): Law of sines
- Wikipédia (em inglês): Heron's formula
- Wikipédia (em inglês): Solution of triangles
Números e texto verificados pela última vez em terça-feira, 10 de novembro de 2026.