حاسبة حل المثلثات: الأضلاع والزوايا والمساحة وقانون الجيوب

طريقة الاستخدام

أدخل ثلاث قيم بالضبط: أي ثلاثة من الضلع a والضلع b والضلع c، والزوايا الزاوية α والزاوية β والزاوية γ. اترك الحقول الأخرى فارغة.
اقرأ عدد المثلثات. لا يظهر مثلثان إلا في الحالة SSA.
راجع الأضلاع والزوايا والمساحة والمحيط والارتفاعات والنوع في الجدول.
افتح طريقة الحساب لترى قانون جيب التمام أو قانون الجيوب المستخدم في كل خطوة.

القوانين المستخدمة

يعطي قانون جيب التمام ضلعاً من ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، c² = a² + b² − 2ab cos γ، ويعطي زاوية من ثلاثة أضلاع، cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2bc). ويقول قانون الجيوب إن a ÷ sin α = b ÷ sin β = c ÷ sin γ.

مجموع الزوايا الثلاث 180°. وتعطي صيغة هيرون المساحة من الأضلاع وحدها: مع s = (a + b + c) ÷ 2، تكون المساحة √(s(s − a)(s − b)(s − c)). والارتفاع على الضلع a هو 2 × المساحة ÷ a.

c² = a² + b² − 2ab cos γ
a ÷ sin α = b ÷ sin β = c ÷ sin γ
المساحة = √(s(s − a)(s − b)(s − c))، s = (a + b + c) ÷ 2

الحالات الخمس

SSS: ثلاثة أضلاع. تُحسب الزوايا بقانون جيب التمام.
SAS: ضلعان والزاوية المحصورة بينهما. يُحسب الضلع الثالث بقانون جيب التمام، ثم الزوايا.
ASA وAAS: زاويتان وضلع. الزاوية الثالثة هي 180° مطروحاً منها الزاويتان الأخريان، ويعطي قانون الجيوب الأضلاع.
SSA: ضلعان وزاوية مقابلة لأحدهما. يعطي قانون الجيوب الزاوية المقابلة للضلع الآخر. وهذه الزاوية ومكملتها قد تناسبان معاً، فيكون المثلثان أو مثلث واحد أو لا مثلث.

ما لا تشمله هذه الأداة

المثلثات في ثلاثة أبعاد، والمثلثات على الكرة، ومسائل المثلث القائم التي يُعرف فيها الوتر وحده.
الرسوم: النتيجة جدول وخطوات، وليست صورة.
الزوايا بالراديان: أدخل الدرجات فقط.

مثال محلول: أضلاع 3 و4 و5

أُعطيت ثلاثة أضلاع، لذلك تُحسب الزوايا بقانون جيب التمام: cos α = (16 + 25 − 9) ÷ 40 = 0.8، إذن α = 36.87°؛ و β = 53.13°؛ و γ = 90°، وهي زاوية قائمة.

تعطي صيغة هيرون s = 6، والمساحة √(6 × 3 × 2 × 1) = 6. المحيط 12، والارتفاعات 4 و3 و2.4.

	النتيجة
الزوايا α وβ وγ	36.87°، 53.13°، 90°
المساحة	6
المحيط	12
الارتفاعات h_a وh_b وh_c	4، 3، 2.4

الأسئلة الشائعة

ما القيم الثلاث التي يمكنني إدخالها؟

أي ثلاث من الست: الأضلاع a وb وc، والزوايا α وβ وγ، بشرط ألا تكون الزوايا الثلاث كلها. وأكثر الاختيارات شيوعاً ضلعان وزاوية، أو زاويتان وضلع.

ما الحالة الملتبسة؟

حين يُعرف ضلعان وزاوية مقابلة لأحدهما، يمكن للضلع أن يصل إلى الضلع الآخر في موضعين إذا كان الضلع المعطى قصيراً. عندئذ يوجد مثلثان، ويظهر كل منهما مع خطواته.

لماذا تقول الأداة إنه لا يوجد مثلث؟

لا تستطيع القيم تكوين مثلث. يجب أن تحقق الأضلاع الثلاثة متباينة المثلث، ومجموعة SSA لا تكوّن مثلثاً حين يكون الضلع المقابل للزاوية المعطاة قصيراً أكثر من أن يصل إلى الضلع الآخر.

لماذا تقتصر الزوايا على ما بين 0° و180° فقط؟

كل زاوية في المثلث أكبر من 0° وأقل من 180°، ومجموعها 180°، لذلك لا يمكن أن تكون زاوية خارج هذا المدى جزءاً من مثلث.

كيف تُحسب المساحة؟

تُحسب المساحة بصيغة هيرون من الأضلاع الثلاثة، لذلك تعمل مهما كانت القيم المعطاة في الأصل. والارتفاعات هي 2 × المساحة مقسومة على الضلع الذي يُرسم إليه كل ارتفاع.

هل تُرسل القيم التي أدخلها إلى خادم؟

لا. يُحل المثلث في متصفحك، ولا يُرسل ما تكتبه إلينا.

المصادر

آخر مراجعة للأرقام والنص: الثلاثاء، 30 جمادى الأولى 1448 بعد الهجرة.

النتيجة

طريقة الحساب