طريقة الاستخدام
- اكتب العدد الذي أمام x² في العدد a (أمام x²). لا يمكن أن يكون 0.
- اكتب العدد الذي أمام x في العدد b (أمام x)، والثابت في العدد c (الثابت). استخدم علامة السالب للأعداد السالبة.
- اقرأ الجذور (قيم x) والمميز D = b² − 4ac. تتحدث النتيجة أثناء الكتابة.
- راجع الرأس والصيغة المحللة والرسم، واتبع طريقة الحساب لترى كل خطوة.
القانون التربيعي والمميز
المعادلة التربيعية صورتها ax² + bx + c = 0، حيث a ليس 0. وجذورها يعطيها القانون التربيعي. والعدد الذي تحت الجذر التربيعي، D = b² − 4ac، هو المميز، وهو يحدد نوع الجذور.
x = (−b ± √D) ÷ 2a
D = b² − 4ac- D أكبر من 0: جذران حقيقيان مختلفان.
- D يساوي 0: جذر حقيقي واحد، هو −b ÷ 2a، ويُحسب جذراً مزدوجاً.
- D أصغر من 0: جذران مركبان a ± bi، حيث i الجذر التربيعي لـ −1.
الجذور الدقيقة والتقريبات العشرية
حين يكون D مربعاً كاملاً تكون الجذور كسوراً بسيطة. وإلا يُكتب الجذر التربيعي بدقة: في x² − 8x + 4 = 0، D = 48 = 4² × 3، لذلك الجذران 4 − 2√3 ≈ 0.5359 و4 + 2√3 ≈ 7.4641.
القيم العشرية تستخدم الصيغة المستقرة: q = −(b + sgn(b)√D) ÷ 2، مع x₁ = q ÷ a و x₂ = c ÷ q. ومع الصيغة المدرسية يفقد أحد الجذرين معظم أرقامه حين تكون إشارتا −b و√D مختلفتين وقيمتاهما متقاربتين جداً. والصيغة المستقرة تتفادى ذلك الفقد.
ما لا تغطيه الحاسبة
- المعادلات التي فيها a يساوي 0، وهي خطية، والمعادلات من الدرجة الثالثة فما فوق.
- العوامل المربعة فوق 10,000 في D لا تُحذف، لذلك قد لا يُبسَّط جذر تبسيطاً كاملاً.
- المعادلات بمتغير غير x، أو بأكثر من ثلاثة أعداد.
مثال محلول: x² − 5x + 6 = 0
مع a = 1 وb = −5 وc = 6، يكون المميز D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. D موجب ومربع كامل، لذلك الجذران نسبيان: x = (5 ± 1) ÷ 2، وهما 3 و2.
الرأس عند x = 5/2، وأدنى نقطة في القطع هي (2.5، −0.25). والصيغة المحللة هي (x − 2)(x − 3)، لذلك يقطع الرسم المحور الأفقي عند 2 و3.
| النتيجة | |
|---|---|
| الجذور | x₁ = 2 و x₂ = 3 |
| المميز | 1 |
| الرأس | (2.5، −0.25) |
| الصيغة المحللة | (x − 2)(x − 3) |
الأسئلة الشائعة
ما هو المميز؟
المميز D = b² − 4ac هو الجزء من القانون التربيعي الواقع تحت الجذر التربيعي. فإذا كان موجباً فهناك جذران حقيقيان، وإذا كان صفراً فهناك جذر مزدوج واحد، وإذا كان سالباً فالجذران مركبان.
لماذا أرى جذوراً مثل 4 − 2√3؟
بعض الجذور ليست أعداداً صحيحة ولا كسوراً بسيطة. يُعرض الشكل الدقيق 4 − 2√3 أولاً، يتبعه قيمته العشرية 0.5359، لتستخدم أيهما شئت.
ماذا يعني الرأس؟
الرأس هو أدنى نقطة في قطع مكافئ مفتوح إلى الأعلى (a أكبر من 0)، وأعلى نقطة في قطع مفتوح إلى الأسفل (a أصغر من 0). وقيمة x له هي −b ÷ 2a.
هل يمكن أن يكون a صفراً؟
لا. إذا كان a صفراً يختفي حد x²، وتصبح المعادلة خطية بجذر واحد هو −c ÷ b. والمعادلة التربيعية تحتاج عدداً لـ a غير صفري.
هل تعمل الحاسبة مع الأعداد العشرية؟
نعم. تُقرأ الأعداد العشرية بدقة، فتُحل معادلة مثل 0.5x² + x + 0.125 = 0 دون تقريب أعدادها أولاً.
هل تُرسل الأعداد التي أدخلها إلى خادم؟
لا. تُحل المعادلة في متصفحك، ولا يُرسل إلينا أي شيء تدخله.
المصادر
آخر مراجعة للأرقام والنص: الثلاثاء، 30 جمادى الأولى 1448 بعد الهجرة.