Calculateur de nombres complexes : opérations et racines

Mode d'emploi

Saisissez le premier nombre dans Premier nombre z₁, sous la forme a + bi ou r∠angle.
Choisissez l'Opération. Pour les quatre opérations arithmétiques, saisissez le second nombre dans Second nombre z₂ ; pour une puissance ou une racine, saisissez l'entier dans Puissance n ou racine n.
Lisez le Résultat. Le tableau Formes du résultat montre les formes rectangulaire, polaire et exponentielle ; pour une racine, le tableau Les racines n-ièmes les donne toutes.
Parcourez le Détail du calcul étape par étape.

Formes rectangulaire, polaire et exponentielle

Un nombre complexe s'écrit a + bi, avec i² = −1. Son module vaut |a + bi| = √(a² + b²), et son argument est l'angle arg z = atan2(b ; a) mesuré depuis l'axe réel positif. La forme polaire s'écrit r∠θ = r(cos θ + i sin θ), et la forme exponentielle r·e^(iθ), avec θ en radians. Multiplier deux nombres multiplie leurs modules et additionne leurs arguments : c'est pourquoi les puissances et les racines sont plus simples en forme polaire.

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(a + bi) ÷ (c + di) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) ÷ (c² + d²)
Les racines n-ièmes de r∠θ : r^(1/n) ∠ (θ + 360°k) ÷ n

Les racines n-ièmes d'un nombre non nul sont n points répartis régulièrement sur un cercle de rayon |z|^(1/n).
L'argument est principal : il est compris entre −180° et 180°, et les angles des racines sont indiqués dans cet intervalle.
Un nombre rectangulaire saisi sous la forme a + bi est calculé exactement ; un nombre polaire, ses racines et son argument sont des décimaux.

Ce que le calculateur ne couvre pas

Le calculateur traite un ou deux nombres complexes à la fois, avec leurs parties réelles et imaginaires. Il ne résout pas les équations dont l'inconnue est complexe, et il ne donne pas de racines exactes pour la plupart des nombres : une racine qui n'est pas un nombre simple est affichée en décimal.

Les puissances et les racines sont limitées aux exposants de −20 à 20 et aux racines d'ordre 1 à 12.
La forme exponentielle utilise les radians, comme les mathématiques l'exigent, même lorsque les angles sont affichés en degrés.
La division par un nombre complexe égal à 0 est refusée.

Exemple détaillé : (3 + 4i)(1 − 2i) et les racines cubiques de 8

Le produit vaut (3 × 1 − 4 × (−2)) + (3 × (−2) + 4 × 1)i = 11 − 2i. Le module de 3 + 4i vaut √25 = 5, et le quotient (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) vaut −1 + 2i.

Les racines cubiques de 8, qui a pour module 8 et pour angle 0°, ont pour module 2 et pour angles 0°, 120° et −120°. Ce sont 2, −1 + 1,7321i et −1 − 1,7321i.

Question	Réponse
(3 + 4i)(1 − 2i)	11 − 2i
(3 + 4i) ÷ (1 − 2i)	−1 + 2i
\|3 + 4i\|	5
Racines cubiques de 8, la deuxième	−1 + 1,7321i

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la forme polaire et la forme exponentielle ?

Les deux donnent le même nombre, avec le même module r et le même argument θ. La forme polaire s'écrit r∠θ, et la forme exponentielle r·e^(iθ), avec θ toujours en radians, comme l'exigent les mathématiques.

Pourquoi certaines racines sont-elles données avec un angle de −120° et non de 240° ?

Le calculateur affiche chaque angle entre −180° et 180°. L'angle 240° a la même direction que −120° : les deux donnent donc la même racine.

Comment saisir un nombre avec une fraction ?

Saisissez la fraction dans la partie voulue : 1/2 + 3/4i représente un demi plus trois quarts de i. Les décimaux fonctionnent aussi, avec la virgule décimale.

Quand le résultat affiche-t-il une fraction comme 1/3 ?

Seulement lorsque la valeur exacte n'a pas de développement décimal fini, comme 1/3. Le calculateur la garde sous forme de fraction au lieu de l'arrondir. Une valeur comme 3/25 vaut exactement 0,12 et s'affiche donc sous cette forme décimale.

Mes nombres sont-ils envoyés à un serveur ?

Non. Le calcul se fait dans votre navigateur, et rien de ce que vous saisissez n'est envoyé à nos serveurs.

Sources

Chiffres et texte vérifiés pour la dernière fois le mardi 10 novembre 2026.

Résultat

Détail du calcul