Как пользоваться
- Выберите Как ввести многочлен: как многочлен или как список коэффициентов.
- Введите многочлен в Многочлен от x или числа от старшей степени к младшей в Коэффициенты от старшей степени к младшей.
- Прочитайте Итог и таблицу Корни. Проверка показывает, проходят ли все корни проверку подстановкой.
- Пройдите по Как получен результат, чтобы увидеть тест рациональных корней, каждое деление и метод для остальных.
Рациональные корни, точные формулы и численные корни
Рациональный корень p/q многочлена с целыми коэффициентами имеет p, делящее свободный член, и q, делящее старший коэффициент. Каждый кандидат проверяется синтетическим делением, а найденный корень отделяется, и многочлен становится короче. Оставшийся квадратный многочлен решается по формуле корней, а квадратные корни записываются как k√m. Многочлен только от x² решается через y = x², когда корни по y рациональны.
x = (−b ± √D) ÷ 2a, где D = b² − 4ac
p(x) = (x − r)·q(x) + остаток; при корне r остаток равен 0- Степени 1 и 2 всегда решаются точно; кубический или четвёртой степени многочлен решается точно, только если тест рациональных корней или форма с x² сводит его к квадратному.
- Остальные многочлены, например x³ − 2 или пятой степени, решаются численно: метод Дюранда — Кернера находит все корни сразу, а шаги Ньютона их уточняют.
- Каждый численный корень проверяется подстановкой в исходный многочлен; относительная невязка около 10⁻¹⁵ означает, что корень точен.
Что калькулятор не охватывает
Калькулятор работает с одним многочленом от x степени от 1 до 6 с действительными коэффициентами. Нерациональные кратные корни находятся численно, поэтому их десятичные значения могут быть менее точны, чем у остальных.
- Многочлены степени 7 и выше, а также многочлены от нескольких переменных не принимаются.
- Формула Кардано для кубических и формула Феррари для четвёртой степени не используются; такие случаи покрывает численный метод.
- Делители очень больших свободных членов перебираются лишь частично, и страница это сообщает, когда такое случается.
Пример: 2x³ − 3x + 1 = 0
Кандидаты: ±1 и ±1/2. Синтетическое деление на x − 1 даёт коэффициенты 2, 2, −1 с остатком 0, поэтому 1 — корень, а частное равно 2x² + 2x − 1.
Для частного D = 2² − 4 × 2 × (−1) = 12 = 2²·3, поэтому его корни равны (−1 ± √3)/2, примерно 0,366 и −1,366. Все три корня действительные.
| Шаг | Результат |
|---|---|
| Рациональный корень | 1 |
| Частное после деления на x − 1 | 2x² + 2x − 1 |
| Корни частного | (−1 ± √3)/2 ≈ 0,366 и −1,366 |
| Итог | Степень 3: 3 действительных корня |
Частые вопросы
Что такое тест рациональных корней?
Он перечисляет единственные рациональные числа, которые могут быть корнями многочлена с целыми коэффициентами: p/q, где p делит свободный член, а q делит старший коэффициент. Калькулятор проверяет каждое из них синтетическим делением.
Почему некоторые корни показаны десятичными дробями?
Корень, который не является рациональным и не имеет простой записи, например кубический корень из 2, находится численно и показывается десятичной дробью. Столбец невязки показывает, насколько он близок к настоящему корню.
Что означает невязка?
Невязка — это |p(x)| в корне, делённое на размеры слагаемых многочлена. Значение около 10⁻¹⁵ означает, что корень точен до предела точности вычислений; большее значение означает менее точный корень.
Как ввести многочлен с дробями?
Используйте список коэффициентов и записывайте каждую дробь как число, например 1/2 — это одна вторая. В записи в виде многочлена пишите дробь перед степенью без скобок: 1/2x^2 + 1. Произведения скобок не раскрываются, поэтому многочлен пишите развёрнутым.
Отправляются ли мои числа на сервер?
Нет. Корни вычисляются в вашем браузере, и ничего из введённого не передаётся на сервер.
Источники
- Wikipedia (на английском): Rational root theorem
- Wikipedia (на английском): Synthetic division
- Wikipedia (на английском): Durand–Kerner method
- Wikipedia (на английском): Cubic equation
Цифры и текст в последний раз проверены вторник, 10 ноября 2026 г..