Mode d'emploi
- Saisissez la fonction dans Fonction f(x), écrite en x, par exemple e^x.
- Saisissez la Borne inférieure a et la Borne supérieure b de l'intervalle.
- Saisissez le Nombre d'intervalles, un nombre pair. Commencez par 4 et doublez-le pour voir la valeur se stabiliser.
- Lisez Intégrale de a à b et Erreur estimée, puis ouvrez le Détail du calcul pour chaque étape.
Comment fonctionne la règle de Simpson
L'intégrale est l'aire algébrique comprise entre la courbe de f et l'axe horizontal, de a à b. La règle de Simpson remplace la courbe, dans chaque paire d'intervalles, par une parabole passant par trois points, puis additionne les aires sous ces paraboles.
La largeur de chaque intervalle est h = (b − a) ÷ n, où n est le nombre d'intervalles, qui doit être pair. La formule ci-dessous provient de notes ouvertes listées dans les sources.
∫ de a à b de f(x) dx ≈ (h/3) × [f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + … + 4f(n−1) + fn]
h largeur de chaque intervalle = (b − a) ÷ n
fk la fonction au point a + k·hComment l'erreur est estimée
L'erreur de la règle de Simpson diminue en proportion de h^4 : diviser la largeur par deux réduit l'erreur d'environ 16. Le calcul donne la valeur S(n) avec vos intervalles et S(2n) avec deux fois plus, puis utilise leur écart pour estimer l'erreur de S(n).
L'estimation n'est aussi bonne que cette hypothèse. Quand la fonction est régulière sur l'intervalle, elle est proche de l'erreur réelle ; près d'un saut, d'un pic étroit ou d'un point où la fonction est infinie, elle peut s'en écarter fortement.
erreur de S(n) ≈ (16/15) × |S(n) − S(2n)|Ce que ce calcul ne prend pas en compte
- Les intégrales impropres : une borne infinie, ou un point à l'intérieur de l'intervalle où la fonction est infinie.
- Les intégrales de fonctions de deux variables ou plus.
- La primitive exacte. La valeur est une approximation numérique.
- Les fonctions avec un saut ou un pic très étroit, pour lesquelles l'estimation de l'erreur n'est pas fiable.
Exemple : e^x de 0 à 1 avec 4 intervalles
La largeur est h = (1 − 0) ÷ 4 = 0,25. La règle de Simpson avec 4 intervalles donne 1,718319, et avec 8 intervalles 1,718284. L'écart est de 0,00003469, donc l'erreur estimée vaut 16/15 de cet écart : 0,00003700.
La valeur exacte est e − 1 = 1,718282, car la dérivée de e^x est e^x (OpenStax, Table of Derivatives, en anglais) ; l'erreur réelle de la valeur à 4 intervalles est donc d'environ 0,00003701, comme l'estimation le prévoit.
| Résultat | Valeur |
|---|---|
| Intégrale avec 4 intervalles | 1,718319 |
| Erreur estimée | 0,00003700 |
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une intégrale définie ?
C'est l'aire algébrique comprise entre la courbe d'une fonction et l'axe horizontal, de la borne inférieure à la borne supérieure. Là où la courbe se trouve sous l'axe, cette part d'aire compte négativement.
Pourquoi le nombre d'intervalles doit-il être pair ?
La règle de Simpson prend les intervalles deux par deux et ajuste une parabole à chaque paire. Un nombre impair laisse un intervalle sans partenaire, si bien que le calcul demande un nombre pair.
Pourquoi la valeur change-t-elle quand j'ajoute des intervalles ?
La règle de Simpson est une approximation. Davantage d'intervalles rendent chaque bande plus étroite, et l'erreur diminue vite, si bien que la valeur se stabilise. L'erreur estimée indique à peu près ce qui reste.
Que signifie l'erreur estimée ?
Elle estime l'écart possible entre la valeur affichée et l'intégrale exacte, obtenu en comparant avec deux fois plus d'intervalles. Ce n'est pas une borne garantie, et elle peut être fausse là où la fonction saute ou présente un pic étroit.
Pourquoi n'obtient-on aucune valeur ?
La fonction n'est pas définie en un point de l'intervalle, par exemple ln(x) en zéro, ou elle y est infinie. Choisissez des bornes où la fonction est définie.
Peut-on utiliser des bornes infinies ?
Non. Les bornes doivent être des nombres. Une intégrale jusqu'à l'infini demande une autre méthode, que ce calculateur ne propose pas.
Le calcul envoie-t-il ma fonction quelque part ?
Non. La fonction est lue et intégrée dans votre navigateur. Rien de ce que vous saisissez n'est conservé ni envoyé à nous.
Sources
- Notes de méthodes numériques (en anglais, texte libre) : section 14.1, règle de Simpson, formule composite et ordre 4
- OpenStax, Calculus Volume 2 (en anglais) : Table of Derivatives (la dérivée de e^x est e^x)
Chiffres et texte vérifiés pour la dernière fois le jeudi 12 novembre 2026.