使い方
- 対象の数、または種類の数nに区別できる対象の数を、選ぶ数kに選ぶ個数を入力します。
- 数え方を選びます。組み合わせか順列か、同じ対象を繰り返し選べるかどうかです。
- その場合の場合の数、公式、計算の過程を読み取ります。
4つの数え方
NISTのデジタル数学関数ライブラリは、4つの数え方をまとめて「十二通りの数え方」（twelvefold way）として、表26.17.1に示しています。二項係数は第26.3節の式26.3.1で定義され、下降積 (n − k + 1)_kは第5.2節の式5.2.4のポッホハマー記号です。このページは、nとkを使って次のように書きます。
組み合わせ： C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)、0 ≤ k ≤ n
重複を許す組み合わせ： C(n + k − 1, k)、任意のk
順列： P(n, k) = n! / (n − k)!、0 ≤ k ≤ n
重複を許す順列： n^k、任意のk順序、重複、特別な場合
- 順序：組み合わせでは、Aの後にBを選ぶのと、Bの後にAを選ぶのは同じ選び方なので、1通りと数えます。順列では順序が重要なので、2通りと数えます。
- 重複：重複なしでは、各対象は多くても1回しか選べないため、kはnより大きくできません。重複ありでは、同じ対象を再び選べるため、kは任意の大きさにできます。
- 対称性：C(n, k) = C(n, n − k)です。計算ではkとn − kのうち小さいほうを使うため、積が短くなります。
- 約束事：0^0 = 1とし、空の並びを1通りと数えます。繰り返す種類がない場合は、空の選び方だけが数えられます。
計算例：n = 5、k = 2の4つの場合
5個のものから2個を選ぶとします。組み合わせはC(5, 2) = 10通りです。同じものを2回選べる重複ありの組み合わせはC(5 + 2 − 1, 2) = C(6, 2) = 15通りです。順列は、順序のある組としてP(5, 2) = 5! / 3! = 5 × 4 = 20通り、重複ありの順列は5^2 = 25通りです。
| 場合 | 公式 | n = 5、k = 2のときの数 |
|---|---|---|
| 組み合わせ | C(5, 2) | 10 |
| 重複を許す組み合わせ | C(6, 2) | 15 |
| 順列 | P(5, 2) | 20 |
| 重複を許す順列 | 5^2 | 25 |
よくある質問
組み合わせと順列の違いは何ですか？
組み合わせでは順序は関係ないため、Aの後にBを選ぶのは1通りと数えます。順列では順序が重要なので、Aの後にBを選ぶのと、Bの後にAを選ぶのは2通りです。質問に合う数え方を選んでください。
ここでの重複とは何ですか？
重複とは、同じ対象を再び選べることです。文字AとBから2つを選ぶとき、重複を許す組み合わせはAA、AB、BBの3通りで、C(2 + 2 − 1, 2) = 3です。
重複があるとき、kがnより大きくなるのはなぜですか？
重複がない場合は、対象の数より多くを選べません。重複がある場合は、同じ対象を再び選べるため、kがnより大きくてもよく、このページでは正確な個数を示します。
nCrとnPrは何を意味しますか？
nCrはC(n, r)、つまり組み合わせを求める電卓のキーです。nPrはP(n, r)、つまり順列を求めるキーです。このページでは2つの数をnとkと呼びます。
ここで0^0が1になるのはなぜですか？
数え方の慣習です。長さ0の空の並びは1通りしかないため、どの集合からでも長さ0の並びの数は1になります。
数はどこまで大きくなりますか？
このページは、nが1,000までの場合について、丸めずに正確な整数を計算します。因数が多い場合は計算の過程を書き出しませんが、場合の数そのものは正確です。
入力した内容は保存されますか？
いいえ。計算はブラウザの中で行われ、入力した内容が当サイトに送られることはありません。
出典
- NISTのデジタル数学関数ライブラリ（英語）, 第26.17節: The Twelvefold Way, 表26.17.1
- NISTのデジタル数学関数ライブラリ（英語）, 第26.3節: 二項係数（式26.3.1）
- NISTのデジタル数学関数ライブラリ（英語）, 第5.2節: ポッホハマー記号（式5.2.4）
数値と文章の最終確認日：2026年11月10日火曜日。