Калькулятор сочетаний и размещений (nCr, nPr) с шагами

Как пользоваться

Введите число объектов или видов в Число объектов или видов n и сколько вы выбираете в Число выбранных k.
Выберите Вид подсчёта: сочетания или размещения, с повторениями или без.
Прочитайте Число способов, Формула и Как получен результат для этого случая.

Четыре вида подсчёта

Цифровая библиотека математических функций NIST (DLMF) даёт все четыре подсчёта вместе в «двенадцатикратном пути» (twelvefold way), таблица 26.17.1. Биномиальный коэффициент определён в разделе 26.3, формула 26.3.1, а убывающее произведение (n − k + 1)_k — это символ Почхаммера из раздела 5.2, формула 5.2.4. Здесь n и k записываются так.

Сочетания:                  C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!), 0 ≤ k ≤ n
Сочетания с повторениями:  C(n + k − 1, k), любое k
Размещения:                 A(n, k) = n! / (n − k)!, 0 ≤ k ≤ n
Размещения с повторениями:  n^k, любое k

Порядок, повторения и граничные случаи

Порядок: в сочетании «A, затем B» — тот же выбор, что «B, затем A», поэтому он считается один раз. В размещении порядок важен, и эти два варианта считаются как два.
Повторения: без повторений каждый объект выбирается не более одного раза, поэтому k не может быть больше n. С повторениями один и тот же объект можно выбрать снова, и k может быть любым.
Симметрия: C(n, k) = C(n, n − k). Расчёт использует меньшее из k и n − k, поэтому произведения получаются короче.
Соглашения: 0^0 = 1, что соответствует единственной пустой последовательности. Если выбирать не из чего, возможен только пустой выбор.

Пример: n = 5, k = 2 во всех четырёх случаях

Возьмём пять объектов и выберем два. Сочетания дают C(5, 2) = 10 способов. Сочетания с повторениями, где объект можно выбрать дважды, дают C(5 + 2 − 1, 2) = C(6, 2) = 15. Размещения дают A(5, 2) = 5! / 3! = 5 × 4 = 20 упорядоченных пар, а размещения с повторениями дают 5^2 = 25.

Случай	Формула	Число при n = 5, k = 2
Сочетания	C(5, 2)	10
Сочетания с повторениями	C(6, 2)	15
Размещения	A(5, 2)	20
Размещения с повторениями	5^2	25

Частые вопросы

В чём разница между сочетаниями и размещениями?

В сочетании порядок не важен, поэтому выбор «A, затем B» считается один раз. В размещении порядок важен, и «A, затем B» и «B, затем A» считаются как два. Выберите вид, который соответствует вашему вопросу.

Что здесь значит повторение?

Повторение означает, что один и тот же объект можно выбрать снова. Для двух букв A и B и двух выборов сочетания с повторениями — это AA, AB и BB, то есть C(2 + 2 − 1, 2) = 3.

Почему k при повторениях может быть больше n?

Без повторений нельзя выбрать объектов больше, чем их есть. С повторениями один и тот же объект можно выбрать снова, поэтому k может быть больше n, и страница даёт точное число.

Что означают nCr и nPr?

nCr — клавиша калькулятора для C(n, r), то есть сочетаний, а nPr — клавиша для A(n, r), то есть размещений. На этой странице два числа называются n и k.

Почему здесь 0^0 равно 1?

Это обычное соглашение для подсчёта: существует ровно одна пустая последовательность, поэтому число последовательностей длины ноль из любого набора равно 1.

Насколько большими могут быть числа?

Страница вычисляет точные целые числа для n до 1000 без округления. Для большого числа множителей расчёт по шагам не записывается, но само число точное.

Сохраняются ли введённые данные?

Нет. Расчёт выполняется в вашем браузере, и ничего из введённого не передаётся на сервер.

Источники

Цифры и текст в последний раз проверены вторник, 10 ноября 2026 г..

Результат

Как получен результат