So verwenden Sie es
- Tragen Sie die Anzahl der Objekte oder Arten unter Objekte oder Arten n ein und, wie viele Sie auswählen, unter Ausgewählte Anzahl k.
- Wählen Sie die Zählart: Kombinationen oder Variationen, mit oder ohne Wiederholung.
- Lesen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, die Formel und den Abschnitt So wird es berechnet für diesen Fall ab.
Die vier Anzahlen
Die NIST Digital Library of Mathematical Functions fasst die vier Anzahlen in ihrer Übersicht der zwölf Fälle zusammen, Tabelle 26.17.1 (englisch). Der Binomialkoeffizient wird in Abschnitt 26.3, Gleichung 26.3.1 definiert, und das fallende Produkt (n − k + 1)_k ist das Pochhammer-Symbol aus Abschnitt 5.2, Gleichung 5.2.4 (englisch). Diese Seite schreibt die Anzahlen mit n und k wie folgt.
Kombinationen: C(n; k) = n! / (k! × (n − k)!), 0 ≤ k ≤ n
Kombinationen mit Wiederholung: C(n + k − 1; k), beliebiges k
Variationen: P(n; k) = n! / (n − k)!, 0 ≤ k ≤ n
Variationen mit Wiederholung: n^k, beliebiges kReihenfolge, Wiederholung und Randfälle
- Reihenfolge: Bei einer Kombination ist A dann B dieselbe Auswahl wie B dann A, sie zählt also einmal. Bei einer Variation kommt es auf die Reihenfolge an, daher zählen beide als zwei.
- Wiederholung: Ohne Wiederholung darf jedes Objekt höchstens einmal gewählt werden, daher kann k nicht größer als n sein. Mit Wiederholung kann dasselbe Objekt erneut gewählt werden, und k kann jede Größe haben.
- Symmetrie: C(n; k) = C(n; n − k). Die Rechnung verwendet den kleineren der beiden Werte k und n − k, das hält die Produkte kurz.
- Vereinbarungen: 0^0 = 1, denn es gibt genau eine leere Folge. Gibt es keine Arten, aus denen mit Wiederholung gewählt werden kann, zählt nur die leere Auswahl.
Rechenbeispiel: n = 5, k = 2 in den vier Fällen
Nehmen Sie fünf Objekte und wählen Sie zwei aus. Kombinationen ergeben C(5; 2) = 10 Möglichkeiten. Kombinationen mit Wiederholung, bei denen ein Objekt zweimal gewählt werden darf, ergeben C(5 + 2 − 1; 2) = C(6; 2) = 15. Variationen ergeben P(5; 2) = 5! / 3! = 5 × 4 = 20 geordnete Paare, und Variationen mit Wiederholung ergeben 5^2 = 25.
| Fall | Formel | Anzahl für n = 5, k = 2 |
|---|---|---|
| Kombinationen | C(5; 2) | 10 |
| Kombinationen mit Wiederholung | C(6; 2) | 15 |
| Variationen | P(5; 2) | 20 |
| Variationen mit Wiederholung | 5^2 | 25 |
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Kombinationen und Variationen?
Bei einer Kombination spielt die Reihenfolge keine Rolle, daher zählt die Auswahl von A und B einmal. Bei einer Variation, die oft auch Permutation genannt wird, kommt es auf die Reihenfolge an, daher zählen A dann B und B dann A als zwei. Wählen Sie die Zählart, die zu Ihrer Frage passt.
Was bedeutet Wiederholung hier?
Wiederholung heißt, dass dasselbe Objekt erneut gewählt werden darf. Bei den Buchstaben A und B und zwei Ziehungen sind die Kombinationen mit Wiederholung AA, AB und BB, also C(2 + 2 − 1; 2) = 3.
Warum kann k mit Wiederholung größer als n sein?
Ohne Wiederholung können Sie nicht mehr Objekte wählen, als es gibt. Mit Wiederholung kann dasselbe Objekt erneut gewählt werden, daher kann k größer als n sein. Die Seite nennt dann die genaue Anzahl.
Was bedeuten nCr und nPr?
nCr ist die Taste des Taschenrechners für C(n; r), also die Kombinationen, und nPr die Taste für P(n; r), also die Variationen. Diese Seite nennt die beiden Zahlen n und k.
Warum ist 0^0 hier gleich 1?
Das ist die übliche Vereinbarung beim Zählen: Es gibt genau eine leere Folge, also ist die Anzahl der Folgen der Länge null aus jeder Menge 1.
Wie groß können die Zahlen werden?
Die Seite berechnet für n bis 1.000 genaue ganze Zahlen ohne Rundung. Bei sehr vielen Faktoren wird der Rechenweg nicht ausgeschrieben, die Anzahl selbst ist aber genau.
Wird meine Eingabe gespeichert?
Nein. Die Berechnung läuft in Ihrem Browser, und nichts, was Sie eingeben, wird an uns übermittelt.
Quellen
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (englisch), Abschnitt 26.17: The Twelvefold Way, Tabelle 26.17.1
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (englisch), Abschnitt 26.3: Binomialkoeffizienten (Gleichung 26.3.1)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (englisch), Abschnitt 5.2: Pochhammer-Symbol (Gleichung 5.2.4)
Zahlen und Text zuletzt geprüft: Dienstag, 10. November 2026.