طريقة الاستخدام
- اكتب سرعة الانطلاق v0 وزاوية الانطلاق θ، مثلاً 20 m/s و45°. واترك ارتفاع الانطلاق h0 صفراً للانطلاق من الأرض.
- للهبوط على مستوى مختلف، اكتبه في ارتفاع الهبوط h1. واتركه فارغاً للهبوط على الأرض.
- اقرأ المدى (المسافة الأفقية) وزمن الطيران، ثم السرعة عند الارتطام وزاوية الارتطام.
- راجع رسم المسار وجدول الموضع والسرعة أثناء الطيران لتتبع المسار، وافتح كيف تُحسب لكل صيغة.
المعادلات
يتحرك المقذوف بسرعة أفقية ثابتة وسرعة رأسية تنقص بمقدار g في كل ثانية، حيث g = 9.80665 m/s² تسارع الجاذبية المعياري. وتُقسم سرعة الانطلاق v0 إلى vx = v0 cos θ وvy = v0 sin θ. وبحذف الزمن ينتج القطع المكافئ الذي يتبعه المسار.
vx = v0 cos θ
vy = v0 sin θ − gt
x = vx t
y = h0 + vy t − ½gt²
t = (vy + √(vy² + 2g(h0 − h1))) ÷ g- المدى R = vx × t، وهو المسافة الأفقية من نقطة الانطلاق إلى نقطة الهبوط.
- أعلى نقطة H = h0 + vy² ÷ (2g)، وتُبلغ بعد vy ÷ g ثانية.
- سرعة الارتطام √(vx² + vy²) عند الهبوط، حيث السرعة الرأسية هي −√(vy² + 2g(h0 − h1)).
ما لا تشمله هذه الحاسبة
- مقاومة الهواء. الكرة أو القذيفة الحقيقية تفقد سرعة في الهواء، فيكون مداها أقصر من المدى المثالي المعروض هنا. وتكون المقاومة أهم ما تكون للأجسام السريعة أو الخفيفة.
- الرياح والدوران والرفع، التي تدفع المسار جانبياً أو تغيّر شكله.
- تغيّر الجاذبية مع الارتفاع على مسار طويل، ودوران الأرض، وهما يهمان أساساً للصواريخ بعيدة المدى والأقمار الصناعية.
مثال محلول: 20 m/s بزاوية 45° من الأرض
مركبتا الانطلاق vx = v0 cos 45° = 14.14 m/s وvy = v0 sin 45° = 14.14 m/s. ومع h0 = h1 = 0، يكون زمن الطيران 2vy ÷ g = 28.28 ÷ 9.80665 = 2.884 s، والمدى v0² sin 2θ ÷ g = 400 ÷ 9.80665 = 40.79 m.
أعلى نقطة هي vy² ÷ (2g) = 14.14² ÷ (2 × 9.80665) = 10.20 m، وتُبلغ بعد vy ÷ g = 1.442 s. ويهبط المقذوف بسرعة 20 m/s، بزاوية 45° تحت الأفقي، لأن ارتفاعي الانطلاق والهبوط متساويان.
| الكمية | القيمة |
|---|---|
| المدى | 40.79 m |
| زمن الطيران | 2.884 s |
| أعلى نقطة | 10.2 m |
| الزمن حتى أعلى نقطة | 1.442 s |
| السرعة والزاوية عند الارتطام | 20 m/s، 45° تحت الأفقي |
الأسئلة الشائعة
لماذا يقصر المدى في الواقع؟
تبطئ مقاومة الهواء الجسم أثناء طيرانه، فيكون مداه أقصر من المدى المثالي الذي تعطيه هذه الحاسبة. ويكبر الفرق مع السرعة، ويكون كبيراً للأجسام الخفيفة مثل الريشة أو الكرة الخفيفة.
أي زاوية انطلاق تعطي أطول مدى؟
دون مقاومة هواء، ومع تساوي ارتفاعي الانطلاق والهبوط، تعطي 45° أطول مدى، لأن المدى هو v0² sin 2θ ÷ g. وزاويتان مجموعهما 90°، مثل 30° و60°، تعطيان المدى نفسه.
ماذا لو هبط الجسم تحت نقطة الانطلاق؟
أدخل ارتفاع الهبوط أدنى من ارتفاع الانطلاق. فيطول الطيران لأن الجسم يسقط أكثر، ويكون الارتطام أشد انحداراً. وتستعمل الحاسبة نقطة الهبوط التي تكتبها، فيعطي الجرف أو الحفرة المدى الصحيح.
لماذا تكون سرعة الارتطام مساوية لسرعة الانطلاق على أرض مستوية؟
دون مقاومة هواء تُحفظ الطاقة: مربع السرعة يعتمد فقط على الهبوط في الارتفاع. فالمقذوف الذي يهبط على الارتفاع الذي بدأ منه تكون سرعته مساوية لسرعة الانطلاق، لكن اتجاهها يصبح منعكساً تحت الأفقي.
هل يمكن كتابة السرعة بالكيلومتر في الساعة؟
نعم. اكتب السرعة مع km/h، مثلاً 72 km/h. تحوّلها الحاسبة إلى متر في الثانية، أي 20 m/s، قبل أن يبدأ الحساب.
هل ينطبق هذا على كرة يرميها شخص؟
تقريباً، إذا كانت مقاومة الهواء صغيرة والرمية قصيرة. فالكرة المرمية تفقد سرعة بسبب المقاومة، فيكون مداها الحقيقي أقصر. استعمله لترى كيف تغيّر السرعة والزاوية المسار، لا تنبؤاً دقيقاً.
المصادر
- Wikipedia (باللغة الإنجليزية): Projectile motion (range and time of flight with the starting height)
- Wikipedia (باللغة الإنجليزية): Standard gravity (9.80665 m/s²)
آخر مراجعة للأرقام والنص: الثلاثاء، 30 جمادى الأولى 1448 بعد الهجرة.