Como usar
- Digite a Velocidade de lançamento v0 e o Ângulo de lançamento θ, por exemplo 20 m/s e 45°. Deixe a Altura de lançamento h0 em 0 para um lançamento do chão.
- Para um pouso em outro nível, digite-o em Altura de pouso h1. Deixe vazio para pousar no chão.
- Leia Alcance (distância horizontal) e Tempo de voo, depois Velocidade no impacto e Ângulo no impacto.
- Veja o gráfico Trajetória e a tabela Posição e velocidade durante o voo para acompanhar a trajetória, e abra Como é calculado para cada fórmula.
As equações
Um projétil se move com velocidade horizontal constante e com uma velocidade vertical que cai de g a cada segundo, em que g = 9,80665 m/s² é a gravidade padrão. A velocidade de lançamento v0 se divide em vx = v0 cos θ e vy = v0 sen θ. Eliminando o tempo, obtém-se a parábola que a trajetória segue.
vx = v0 cos θ
vy = v0 sen θ − gt
x = vx t
y = h0 + vy t − ½gt²
t = (vy + √(vy² + 2g(h0 − h1))) ÷ g- O alcance é R = vx × t, a distância horizontal do ponto de lançamento ao ponto de pouso.
- O ponto mais alto é H = h0 + vy² ÷ (2g), atingido após vy ÷ g segundos.
- A velocidade de impacto é √(vx² + vy²) no pouso, onde a velocidade vertical é −√(vy² + 2g(h0 − h1)).
O que a calculadora não cobre
- Resistência do ar. Uma bola ou um projétil real perde velocidade no ar, então seu alcance é menor que o alcance ideal aqui mostrado. O arrasto importa mais para objetos rápidos ou leves.
- Vento, rotação e sustentação, que empurram a trajetória para o lado ou mudam o seu formato.
- Variações da gravidade com a altura em um caminho longo, e a rotação da Terra, que importam sobretudo para mísseis de longo alcance e satélites.
Exemplo resolvido: 20 m/s a 45° do chão
As componentes do lançamento são vx = v0 cos 45° = 14,14 m/s e vy = v0 sen 45° = 14,14 m/s. Com h0 = h1 = 0, o tempo de voo é 2vy ÷ g = 28,28 ÷ 9,80665 = 2,884 s, e o alcance é v0² sen 2θ ÷ g = 400 ÷ 9,80665 = 40,79 m.
O ponto mais alto é vy² ÷ (2g) = 14,14² ÷ (2 × 9,80665) = 10,20 m, atingido após vy ÷ g = 1,442 s. O projétil pousa com 20 m/s, a 45° abaixo da horizontal, porque as alturas de lançamento e de pouso são iguais.
| Grandeza | Valor |
|---|---|
| Alcance | 40,79 m |
| Tempo de voo | 2,884 s |
| Ponto mais alto | 10,2 m |
| Tempo até o ponto mais alto | 1,442 s |
| Velocidade e ângulo no impacto | 20 m/s, 45° abaixo da horizontal |
Perguntas frequentes
Por que o alcance diminui na vida real?
A resistência do ar freia o objeto em voo, então seu alcance é menor que o alcance ideal que esta calculadora dá. A diferença cresce com a velocidade, e é grande para objetos leves, como uma pena ou uma bola leve.
Qual ângulo de lançamento dá o maior alcance?
Sem resistência do ar e com alturas de lançamento e de pouso iguais, 45° dá o maior alcance, porque o alcance é v0² sen 2θ ÷ g. Dois ângulos que somam 90°, como 30° e 60°, dão o mesmo alcance.
E se o objeto cair abaixo do ponto de lançamento?
Digite a altura de pouso abaixo da altura de lançamento. O voo fica mais longo, porque o objeto cai mais, e o impacto é mais inclinado. A calculadora usa o ponto de pouso que você digita, então um penhasco ou um buraco dá o alcance certo.
Por que a velocidade de impacto é igual à de lançamento em terreno plano?
Sem resistência do ar, a energia se conserva: o quadrado da velocidade depende só da queda de altura. Um projétil que pousa na altura de onde partiu tem a mesma velocidade do lançamento, mas sua direção fica espelhada abaixo da horizontal.
Posso digitar a velocidade em km/h?
Sim. Digite a velocidade com km/h, por exemplo 72 km/h. A calculadora a converte para metros por segundo, que dá 20 m/s, antes de começar o cálculo.
Isto funciona para uma bola atirada por uma pessoa?
Mais ou menos, se o arrasto do ar for pequeno e o arremesso for curto. Uma bola atirada perde velocidade para o arrasto, então o alcance real é menor. Use para ver como a velocidade e o ângulo mudam a trajetória, não como uma previsão exata.
Fontes
- Wikipédia (em inglês): Projectile motion (range and time of flight with the starting height)
- Wikipédia (em inglês): Standard gravity (9.80665 m/s²)
Números e texto verificados pela última vez em terça-feira, 10 de novembro de 2026.