طريقة الاستخدام
- أدخل عدد الأشخاص في المجموعة، مثلاً 23.
- أبقِ عدد أيام السنة على 365 ما لم ترِد احتساب 29 فبراير يوم ميلاد.
- اكتب الاحتمال المستهدف، مثل 50، لتجد حجم المجموعة الذي يبلغه.
- اقرأ احتمال أن يتشارك اثنان يوم الميلاد والرسم البياني، لترى مدى سرعة نمو الاحتمال.
كيف يُحسب الاحتمال
نضيف الأشخاص واحداً بعد آخر. يمكن للشخص الأول أن يولد في أي يوم. ويجب أن يتجنب الثاني ذلك اليوم، وهذا احتمال 364 من 365. ويجب أن يتجنب الثالث يومين، وهكذا. وبضرب هذه الاحتمالات نحصل على احتمال أن يختلف الجميع، وبطرحه من واحد نحصل على احتمال التشارك.
P(تشارك) = 1 − (365/365 × 364/365 × … × (365 − n + 1)/365)، لعدد n من الأشخاص.- يُحسب الناتج بأعداد صحيحة كاملة، فلا يُقرَّب شيء في الطريق.
- مع عدد أشخاص أكبر من عدد الأيام يكون الاحتمال مؤكداً، لأن اثنين لا بد أن يتشاركا يوماً. هذا مبدأ الحمام.
- يبدأ البحث عن الهدف بشخص واحد، ويتوقف عند أول حجم مجموعة يبلغ الاحتمال المستهدف.
ما لا يشمله النموذج
- التوائم والولادات المتعددة، التي تجعل تشارك يوم الميلاد أرجح مما يقوله النموذج.
- الأنماط الموسمية والأسبوعية في الولادات. فليست أيام الميلاد موزعة بالتساوي تماماً، وتوزيع غير متساوٍ يرفع الاحتمال قليلاً.
- أي معنى للتطابق. يحسب الاحتمال أي يوم مشترك، لا يوم ميلاد مشتركاً لشخص بعينه.
مثال: 23 شخصاً
مع 23 شخصاً تكون هناك 23 عاملاً، من 365/365 و364/365 حتى 343/365. عند ضربها معاً يكون احتمال أن يختلف الجميع نحو 0.4927. لذلك فاحتمال أن يتشارك اثنان هو 1 − 0.4927 = 0.5073، أي 50.73٪. ولهذا يكون 23 أصغر مجموعة تتجاوز النصف.
| الأشخاص | احتمال تشارك يوم الميلاد |
|---|---|
| 10 | 11.69٪ |
| 20 | 41.14٪ |
| 23 | 50.73٪ |
| 30 | 70.63٪ |
الأسئلة الشائعة
لماذا يكون الاحتمال مرتفعاً مع 23 شخصاً فقط؟
لأن كل زوج من الأشخاص يُقارَن، لا كل شخص مع يوم ميلاد واحد ثابت. و23 شخصاً يكوّنون 253 زوجاً، ولكل زوج احتمال نحو 1 من 365 للتطابق، فتتراكم الاحتمالات بسرعة.
أي حجم مجموعة يعطي احتمال 50٪؟
مع 365 يوماً تكون أصغر مجموعة 23 شخصاً، باحتمال نحو 50.73٪. ومع 22 شخصاً يكون الاحتمال نحو 47.57٪، وهو أقل من النصف.
هل تغيّر السنة الكبيسة ذات 366 يوماً الجواب؟
قليلاً فقط. فحساب 29 فبراير يوم ميلاد ما زال يعطي 23 شخصاً لاحتمال 50٪. تقدم الصفحة هذا الخيار لأن النموذج المعتاد يستخدم 365 يوماً.
هل تتوزع أيام الميلاد بالتساوي فعلاً على السنة؟
لا. تتفاوت الولادات حسب الفصل وأيام الأسبوع، والتوزيع غير المتساوي يجعل تشارك يوم الميلاد أرجح قليلاً مما يقوله النموذج. والفرق صغير، لذلك تبقى أحجام المجموعات أعلاه قريبة من الواقع.
لماذا يعطي هدف 100٪ عدد 366 شخصاً؟
مع 365 يوماً، يجب أن يشارك الشخص رقم 366 يوم ميلاده مع أحد سبقه، بمبدأ الحمام. لذلك يكون 366 هو أصغر مجموعة تضمن وجود تشارك في يوم الميلاد.
المصادر
آخر مراجعة للأرقام والنص: الثلاثاء، 30 جمادى الأولى 1448 بعد الهجرة.